제22회 한국수학올림피아드 2차시험 고등부.

2008년 8월 16일.

오전: 1~4번 문제, 2시간 30분

오후: 5~8번 문제, 2시간 30분

---

삼차원 공간의 점들의 집합 $V=\{(x,y,z)\mid 0\le x,y,z\le 2008, \text{$x$, $y$, $z$는 정수}\}$를 생각하자. 집합 $V$에 있는 각 점에 색칠을 하는데 두 점 사이의 거리가 정확히 $1$, $\sqrt 2$ 또는 $2$인 경우에는 서로 다른 색이 칠해지도록 하려고 한다. 이 때 필요한 색의 최소 개수를 구하여라.

실수 $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_n$에 대하여, $x_1\gt1$, $x_2\gt 2$, $\ldots$, $x_n\gt n$일 때 \[ \frac{ (x_1+x_2+\cdots+x_n)^2} { \sqrt{x_1^2-1^2}+\sqrt{x_2^2-2^2}+\cdots+\sqrt{x_n^2-n^2}}\]의 최소값을 구하여라.

원 $O$ 위에 5개의 점 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$가 있고 $AC=CE$이다. 선분 $BD$는 두 선분 $AC$, $CE$와 각각 점 $P$, $Q$에서 만난다. 두 선분 $AP$, $BP$와 호 $AB$(점 $C$를 포함하지 않는)에 모두 접하는 원을 $O_1$이라 하고, 두 선분 $DQ$, $EQ$와 호 $DE$(점 $C$를 포함하지 않는)에 모두 접하는 원을 $O_2$라 하자. 두 원 $O_1$, $O_2$가 원 $O$에 내접하는 두 점을 각각 $R$, $S$라 하자. 두 직선 $RP$와 $SQ$의 교점을 $X$라 할 때, 직선 $XC$가 $\angle ACE$의 이등분선임을 보여라.

모든 양의 정수의 집합 $\mathbb N$의 세 부분 집합 $A$, $B$, $C$가 다음 조건들을 모두 만족하면 $A$, $B$, $C$를 $\mathbb N$의 `분할’이라 한다

(i) $A, B,C\neq \emptyset$

(ii) $A\cap B=B\cap C=C\cap A=\emptyset$;

(iii) $A\cup B\cup C=\mathbb N$.

아래의 세 조건을 모두 만족하는 $\mathbb N$의 분할 $A$, $B$, $C$가 존재하지 않음을 보여라:

(1) 모든 $a\in A$, $b\in B$에 대하여, $a+b+2008\in C$,

(2) 모든 $b\in B$, $c\in C$에 대하여, $b+c+2008\in A$,

(3) 모든 $c\in C$, $a\in A$에 대하여, $c+a+2008\in B$.

임의의 5 이상의 소수 $p$에 대하여 \[ 1+ \left( \frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\cdots+\frac1{n^2}\right)\times (2^2\times 3^2\times \cdots \times n^2)\]이 $p$의 배수가 되는 정수 $n$이 존재함을 보여라.

원 $\Gamma$에 내접하는 사각형 $ABCD$가 있다. 점 $A$에서의 원 $\Gamma$의 접선에 평행하고 점 $D$를 지나는 직선이 원 $\Gamma$와 만나는 두 교점 중 $D$가 아닌 점을 $E$라 하자. 원 $\Gamma$ 위의 점 $F$가 직선  $CD$에 대하여 점 $E$의 반대편에 있고 두 조건 \[ AE\cdot AD\cdot CF=BE\cdot BC\cdot DF; \quad \angle CFD=2\angle AFB\]를 모두 만족하면, 점 $A$에서의 원 $\Gamma$의 접선과 점 $B$에서의 원 $\Gamma$의 접선, 그리고 직선 $EF$가 한 점에서 만남을 보여라. (단, 6개의 점 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$는 모두 다른 점이고, 두 점 $A$와 $E$는 직선 $CD$에 대하여 같은 편에 있다.)

다음의 세 조건을 모두 만족하는 함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$는 오직 $f(x)=x$ 하나뿐임을 보여라. 단, $\mathbb R$은 모든 실수의 집합이다.

(1) 모든 실수 $x\neq 0$에 대하여, $f(x)=x^2 f\left(\frac1x\right)$,

(2) 모든 실수 $x$, $y$에 대하여, $f(x+y)=f(x)+f(y)$,

(3) $f(1)=1$.

양의 정수 $s$, $t$에 대하여, 모든 항이 양의 정수인 수열 $a_n$을 다음과 같이 정의하자: $a_1=s$, $a_2=t$, 그리고 모든 $n\ge 1$에 대하여 \[ a_{n+2}=[\sqrt{ a_n+(n+2)a_{n+1}+2008}].\] 단, $[x]$는 $x$를 넘지 않는 최대 정수이다. 이 때, 집합 $\{\text{$n$은 양의 정수} \mid a_n\neq n\}$이 유한집합임을 보여라.