칠판에 적힌 양의 실수들에 대한 다음의 ‘작업’을 생각하자: ‘칠판 위에 적힌 숫자들 중 하나를 선택하여(선택된 수를 $r$이라 하자), 그 수를 지우고, 대신 $2r^2=ab$를 만족시키는 두 양의 실수 $a$, $b$를 칠판에 적는다.’

칠판에 적힌 숫자가 $r$ 하나 뿐인 상태에서 위의 작업을 $k^2-1$번 시행하였다고 할 때, 칠판에 적힌 $k^2$개의 숫자들 중에는 $kr$보다 크지 않은 숫자가 존재함을 보여라. (단, $k^2$개의 숫자들이 다 다를 필요는 없다.)