양의 정수의 수열 $a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_k$ 중 $a_1+ \cdots + a_k = n$이고 모든 $i=1,2,\ldots, k$에 대해 $a_i+1$이 $2$의 거듭제곱꼴인 수열의 개수를 $A(n)$이라 하자. 양의 정수의 수열 $b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_m$ 중 $b_1+ \cdots + b_m = n$ 이고 모든 $j=1,2,\ldots,m-1$에 대해 $b_j \geq 2b_{j+1}$인 수열의 개수를 $B(n)$이라 하자. 이때, 모든 양의 정수 $n$에 대하여 $A(n)=B(n)$임을 보여라.