모든 $n$에 대해 $a_{n}\in \{0,1\}$인 수열 $(a_n)_{n=1}^\infty$이 있다. 함수 $F:(-1,1)\to\mathbb R$이 \[F(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n x^n\]으로 정의되어 있으며 $F(\frac12)$는 유리수였다고 가정하자. 이때, $F$는 정수 계수를 갖는 두 다항식을 나눈 것과 같음을 보여라.