유리수 $m$, $n$이 각각 $0$이 아니고 \( m^3 = (27n^2+1)(m+2n)\)을 만족시킬 때 $\dfrac{m-6n}{m+2n}$이 가질 수 있는 정수값을 모두 구하여라.
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2018년 제31회 한국수학올림피아드 최종시험 1번문제,
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유리수 $m$, $n$이 각각 $0$이 아니고 \( m^3 = (27n^2+1)(m+2n)\)을 만족시킬 때 $\dfrac{m-6n}{m+2n}$이 가질 수 있는 정수값을 모두 구하여라.