짝수인 양의 정수 $k$에 대하여 사라는 먼저 1보다 큰 양의 정수 $N$을 고른 후 다음 방식으로 그 수를 바꾸는 작업을 한다: 1분마다, 현재 $N$ 값의 소인수 $p$를 골라서 $N$에 $p^k-p^{-1}$을 곱하여 새로운 $N$값을 만든다. 이때 사라가 어떻게 고르더라도 언젠가는 $N$이 $2018$의 배수가 되는 무한히 많은 짝수인 양의 정수 $k$가 존재함을 증명하여라.