2018년 3월 24일 (오후), 3월 25일 (오전), 각각 3문제 4시간 30분씩.
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유리수 $m$, $n$이 각각 $0$이 아니고 \( m^3 = (27n^2+1)(m+2n)\)을 만족시킬 때 $\dfrac{m-6n}{m+2n}$이 가질 수 있는 정수값을 모두 구하여라.
삼각형 $ABC$가 $\angle ABC <\angle BCA < \angle CAB<90^\circ$를 만족한다. 삼각형 $ABC$의 외심 $O$를 변 $BC$에 대하여 대칭시킨 점을 $K$라 하자. 점 $K$에서 직선 $AB$, $AC$에 내린 수선의 발을 각각 $D$, $E$라 하자. 직선 $DE$와 직선 $BC$가 점 $P$에서 만나고 선분 $AK$를 지름으로 하는 원과 삼각형 $ABC$의 외접원이 점 $Q$($\neq A$)에서 만난다. 직선 $PQ$가 변 $BC$의 수직이등분선과 점 $S$에서 만난다면, $S$는 선분 $AK$를 지름으로 하는 원 위에 있음을 보여라.
지난 31년간 $n$($\ge 7$)명의 테니스 선수들이 서로 경기를 한 결과를 분석하였더니, 임의의 두 선수 $X$, $Y$를 뽑더라도 그 두 선수를 모두 이긴 적이 있는 다른 선수가 있었다는 사실을 발견하였다. 만일 어떤 정수 $k$에 대하여 $ 2(2^{(2^k)}-1)\ge n$이면 다음 조건을 만족하는 서로 다른 테니스 선수들 $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_\ell$이 존재함을 보여라.
$2\le \ell\le 2k$이며 모든 $1\le i<\ell$에 대하여 $A_i$는 $A_{i+1}$을 이긴 적이 있고
$A_\ell$은 $A_1$을 이긴 적이 있다.
(단, 어떤 두 선수 $A$, $B$는 서로 경기를 한 적이 없을 수도 있고 있을 수도 있다.)
각 $C$가 직각인 직각삼각형 $ABC$이 있다. 점 $A$, $B$를 지나는 원이 변 $AC$와 $A$, $C$가 아닌 점 $G$에서 만나고 변 $BC$와 $B$ 아닌 점 $D$에서 만난다. 선분 $AD$와 선분 $BG$의 교점을 $H$, 선분 $AD$의 수직이등분선 $\ell$과 선분 $AB$의 수직이등분선의 교점을 $E$라 하자. 점 $D$를 지나고 선분 $DE$와 수직인 직선이 직선 $\ell$과 만나는 점을 $F$라 하자. 삼각형 $CFH$의 외접원이 직선 $AC$와 $P$($\neq C$), 직선 $BC$와 $Q$($\neq C$)에서 만난다. 이때, 직선 $PQ$와 직선 $FH$가 서로 수직으로 만남을 보여라.
임의의 실수 $x$에 대하여 \[P(Q(x))-3Q(P(x))=1\]을 만족하는 차수가 2018 이상인 두 정수계수 다항식 $P(x)$와 $Q(x)$가 존재하는가?
한 변의 길이가 1인 정이십면체의 각 면에 개미가 한 마리씩 살고 있다. 개미는 각 면의 모서리를 따라 반시계방향으로 돌아야 하며 어느 순간에도 속력이 1 이상이어야 한다. 꼭짓점이 아닌 점에서 두 개미가 만나는 것은 금지되어 있다. 다섯 마리의 개미가 한 꼭짓점에서 동시에 만나는 것을 충돌이라고 한다. 충돌이 일어나지 않도록 개미들이 움직이는 전략이 존재하는가?