양의 정수 $a$, $b$, $c$, $d$가 $ad\neq bc$이며 $\gcd(a,b,c,d)=1$을 만족한다. 모든 양의 정수 $n$에 대하여 $\gcd(an+b,cn+d)$의 값을 모아 만든 집합을 $S$라 하자. 집합 $S$는 어떤 양의 정수의 모든 양의 약수의 집합이 됨을 보여라.