2018년 2월 23일 금요일-2월 24일 토요일. 하루 3문제씩 이틀간. 매일 4시간 30분씩.
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원에 내접하는 사각형 $ABCD$의 변 $AB$ 위에 점 $P$가 있다. 대각선 $AC$와 선분 $DP$가 점 $Q$에서 만난다. 점 $P$를 지나고 $CD$와 평행한 직선이 반직선 $CB$ 위의 점 $K$와 만나며 $B$는 $K$와 $C$ 사이에 있다. 점 $Q$를 지나고 $BD$와 평행한 직선이 반직선 $CB$ 위의 점 $L$과 만나며 $B$는 $L$과 $C$ 사이에 있다. 이때 삼각형 $BKP$의 외접원과 삼각형 $CLQ$의 외접원이 서로 접함을 보여라.
등식\[P(x)^{10}+P(x)^9 = Q(x)^{21}+Q(x)^{20}\]을 만족하는 상수함수가 아닌 실수 계수 다항식 $P(x)$, $Q(x)$가 존재하는가?
민정과 성빈이 무한히 넓은 바둑판에서 다음 규칙에 따라 한번씩 번갈아 시행을 하는 게임을 한다.
처음에 민정부터 시작하며, 각 시행은 두 이웃한 교차점을 잇는 선분 중 아직 방향이 정해지지 않은 것 하나를 골라서 화살표 표시를 하여 방향을 정하는 것이다. 어느 순간에 방향이 정해진 선분들로 이루어진 유향폐곡선(한 점에서 출발하여 방향이 정해진 선분들의 화살표 방향을 따라 이동하면 시작점으로 되돌아올 수 있는 폐곡선)이 만들어지면 성빈이 이긴다. 성빈이 항상 이길 수 있는 전략이 존재하는가?
양의 정수 $a$, $b$, $c$, $d$가 $ad\neq bc$이며 $\gcd(a,b,c,d)=1$을 만족한다. 모든 양의 정수 $n$에 대하여 $\gcd(an+b,cn+d)$의 값을 모아 만든 집합을 $S$라 하자. 집합 $S$는 어떤 양의 정수의 모든 양의 약수의 집합이 됨을 보여라.
양의 정수 $n$에 대하여 한 원 위에 서로 다른 $2n$개의 고정된 점이 있다. 이 점들을 다음 세 조건을 모두 만족하도록 $n$개의 화살표선(유향선분)으로 연결하는 방법의 수를 구하라.
- $2n$개의 점 각각은 어떤 화살표선의 시작점이나 끝점이다.
- 어느 두 화살표선도 서로 만나지 않는다.
- 임의의 두 화살표선 $\overrightarrow{AB}$와 $\overrightarrow{CD}$에 대하여 원 위에서 시계 방향으로 점 $A$, $B$, $C$, $D$가 (꼭 연속하지 않더라도) 이 순서대로
나타날 수는 없다.
원 $\Gamma$와 이 원에 접한 직선 $\ell$이 주어져 있다. 원 $\Omega$는 $\ell$와 만나지 않으며 $\Omega$는 $\ell$에 대하여 $\Gamma$와 반대편에 있다. 원 $\Omega$ 위의 점 $X$에 대하여 $X$를 지나고 $\Gamma$에 접하는 두 직선이 $\ell$과 만나는 점을 $Y$, $Z$라 하자. 점 $X$가 원 $\Omega$ 위에서 움직일 때, 삼각형 $XYZ$의 외접원은 항상 어떤 두 고정된 원에 접합을 보여라.