도미노란 $1\times2$나 $2\times 1$ 형태의 타일을 뜻한다.

정수 $n\ge 3$이 있다. 이제 $n\times n$ 바둑판에 각각의 도미노가 정확히 두 칸을 차지하고 서로 겹치지 않도록 올려놓으려고 한다.

어떤 열이나 행의 값이란, 그 열, 혹은 그 행을 일부라도 덮고 있는 도미노의 수를 뜻한다. 도미노를 올려놓았을 때 만일 각각의 열, 각각의 행 모두 정확히 값이 $k$가 되는 어떤 양수 $k$가 존재하면 균형이 잡혔다고 하자.

임의의 $n\ge 3$에 대하여 균형잡힌 도미노 배치가 존재함을 보여라. 그리고 그러한 도미노 배치에서 필요한 도미노 수의 최솟값을 구하여라.