2018년 4월 11일~12일. 하루 4시간 30분동안 하루 3문제씩.
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삼각형 $ABC$에서 $CA=CB$이며 $\angle ACB=120^\circ$이고 변 $AB$의 중점을 $M$이라 한다. 삼각형 $ABC$의 외접원 위에 점 $P$가 움직이며, 선분 $CP$ 위에 $QP=2QC$가 되도록 점 $Q$가 있다. 점 $P$를 지나고 $AB$에 수직인 직선이 직선 $MQ$와 점 $N$에서 유일하게 만난다.
이때, $P$가 어떻게 움직여도 $N$이 있을 수 있는 점은 모두 한 원 위에 있음을 보여라.
집합 \[ A=\left\{ 1+\frac1k: k=1,2,3,\ldots\right\}\]를 생각하자.
(a) 임의의 정수 $x\ge 2$는 $A$의 하나 이상의 원소들을 중복을 허용하여 뽑은 것들의 곱으로 나타낼 수 있음을 보여라.
(b) 임의의 정수 $x\ge 2$에 대하여 $f(x)$를 $A$의 원소 하나 이상을 중복을 허용하여 총 $f(x)$개를 뽑아 곱하여 $x$를 얻을 수 있을 최소의 값이라고 하자. 이때 \[f(xy)<f(x)+f(y)\]이면서 $x\ge 2$, $y\ge 2$인 정수 $x$, $y$의 순서쌍 $(x,y)$이 무한히 많음을 보여라.
EGMO 참가자 $n$명을 $C_1$, $C_2$, $\ldots$, $C_n$이라 하자. 대회가 끝난 후 식당에 참가자들이 다음 규칙을 모두 만족하도록 줄을 선다.
- 심판이 처음에 참가자들이 서는 줄 순서를 먼저 정해준다
- 매 1분마다 심판이 정수 $i$ ($1\le i\le n$)를 고른다.
- 만일 $C_i$ 앞에 있는 사람 수가 $i$명 이상인 경우 이 사람은 1유로를 심판에 내고 줄에서 정확히 $i$칸 앞으로 이동한다.
- 만일 $C_i$ 앞에 있는 사람 수가 $i$명이 되지 않는 경우 식당이 영업을 시작하고 이 게임이 끝난다.
(a) 심판이 어떻게 하더라도 이 게임이 무한정 계속될 수는 없음을 보여라.
(b) 각각의 $n$에 대하여 심판이 받을 수 있는 돈의 최댓값을 구하라.
도미노란 $1\times2$나 $2\times 1$ 형태의 타일을 뜻한다.
정수 $n\ge 3$이 있다. 이제 $n\times n$ 바둑판에 각각의 도미노가 정확히 두 칸을 차지하고 서로 겹치지 않도록 올려놓으려고 한다.
어떤 열이나 행의 값이란, 그 열, 혹은 그 행을 일부라도 덮고 있는 도미노의 수를 뜻한다. 도미노를 올려놓았을 때 만일 각각의 열, 각각의 행 모두 정확히 값이 $k$가 되는 어떤 양수 $k$가 존재하면 균형이 잡혔다고 하자.
임의의 $n\ge 3$에 대하여 균형잡힌 도미노 배치가 존재함을 보여라. 그리고 그러한 도미노 배치에서 필요한 도미노 수의 최솟값을 구하여라.
삼각형 $ABC$의 외접원 $\Gamma$이 있다. 원 $\Omega$는 변 $AB$와 원 $\Gamma$와 접하며, 원 $\Omega$와 $\Gamma$의 접점은 직선 $AB$에서 점 $C$가 있는 쪽에 있다. 각 $BCA$의 이등분선이 원 $\Omega$와 만나는 점을 $P$, $Q$라 하자. 이때 $\angle ABP=\angle QBC$임을 보여라.
(a) 임의의 $0<t<\frac{1}{2}$인 실수 $t$에 대하여, 다음 성질을 만족시키는 양의 정수 $n$이 존재함을 보여라: $n$개의 양의 정수로 구성된 임의의 집합 $S$이 주어질 때, 그 집합 $S$에서 서로 다른 두 원소 $x$, $y$를 잘 뽑으면 적당한 음 아닌 정수 $m$에 대하여 \[ \lvert x-my\vert \le ty\]가 성립한다.
(b) 임의의 $0<t<\frac{1}{2}$인 실수 $t$에 대하여 적당한 양의 정수로 구성된 무한 집합 $S$를 잘 고르면, 그 집합 $S$에서 서로 다른 두 임의의 원소 $x$, $y$를 잘 뽑으면 임의의 양의 정수 $m$에 대하여 \[\lvert x-my\rvert >ty\]인가?