제50회 캐나다수학올림피아드
총 5문제. 2018년 3월 28일.
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평면 위에 여러 동전이 놓여 있는데 한 점에 여러 동전이 있을 수도 있다. 다음과 같은 작업을 계속 하는 것이 허용된다: 점 $A$에 있는 동전과 점 $B$에 있는 동전이 있을 때 두 동점을 모두 $A$, $B$의 중점으로 옮긴다.
처음에 놓인 동전 $n$개를 위 작업을 유한번만 하여 모두 같은 점으로 이동하도록 할 수 있으면 그 동전 $n$개의 배치를 모을 수 있는 배치라고 하자. 모든 $n$개의 동전 배치가 다 모을 수 있는 배치가 될 필요충분조건은 $n$이 $2$의 거듭제곱임을 보여라.
원 위에 시계방향으로 5개의 점 $A$, $B$, $C$, $D$, $E$가 있는데 $AE=DE$라고 한다. 직선 $AC$와 $BD$가 점 $P$에서 만난다. 점 $A$, $B$를 지나는 직선 위에 점 $Q$가 있는데 $A$가 $B$와 $Q$ 사이에 있으며 $AQ=DP$이다. 마찬가지로 점 $C$, $D$를 지나는 직선 위에 점 $R$이 있는데 $D$가 $C$와 $R$ 사이에 있으며 $DR=AP$이다. 이때 $PE$는 $QR$에 수직임을 보여라.
두 양의 정수 $a$, $b$가 어떤 소수 $p$에 대하여 $a=pb$이거나 $b=pa$가 되면 이 두 양의 정수가 소수로 연관된 사이라고 부르자. 어떤 양의 정수 $n$이 세 개 이상의 양의 약수를 가지며 $n$의 모든 양의 약수를 반복 없이 원형으로 잘 늘어놓았을 때 원 위에서 이웃한 약수는 항상 소수로 연관된 사이가 되게 할 수 있다고 한다. 이러한 양의 정수 $n$을 모두 구하여라. (단, $1$과 $n$ 역시 $n$의 약수이다.)
다음 조건을 만족하는 실수 계수 다항식 $p(x)$를 모두 찾아라: 모든 양의 정수 $n$에 대하여\[ p(1)+p(2)+p(3)+\cdots+p(n)=p(n)q(n)\]이 성립하는 실수 계수 다항식 $q(x)$가 존재한다.
짝수인 양의 정수 $k$에 대하여 사라는 먼저 1보다 큰 양의 정수 $N$을 고른 후 다음 방식으로 그 수를 바꾸는 작업을 한다: 1분마다, 현재 $N$ 값의 소인수 $p$를 골라서 $N$에 $p^k-p^{-1}$을 곱하여 새로운 $N$값을 만든다. 이때 사라가 어떻게 고르더라도 언젠가는 $N$이 $2018$의 배수가 되는 무한히 많은 짝수인 양의 정수 $k$가 존재함을 증명하여라.