어떤 소수 $p$개 만큼의 정수 $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_p$가 있다. 이때 \[ a_1+k, a_2+2k, \ldots, a_p+pk\] 각각을 $p$로 나눈 나머지로 얻을 수 있는 값이 적어도 $p/2$개 이상이 되도록 하는 정수 $k$가 존재함을 보여라.