2018년 4월 18일~19일.
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세 양의 실수 $a$, $b$, $c$의 합이 $4\sqrt[3]{abc}$과 같을 때 \[2(ab+bc+ca)+4\min(a^2,b^2,c^2)\ge a^2+b^2+c^2\]임을 보여라.
다음 조건을 만족하는 함수 $f:(0,\infty)\to(0,\infty)$를 모두 구하여라. 양의 실수 $x,y,z$가 $xyz=1$이면 \[ f(x+\frac1y)+f(y+\frac1z)+f(z+\frac1x)=1\]이다.
정수 $n\ge2$에 대하여, $n$보다 작으면서 $n$과 서로소인 양의 정수의 집합을 $\{a_1,a_2,\ldots,a_m\}$이라 하자. 만일 $m$을 나누는 모든 소수가 $n$을 나눈다면, 모든 양의 정수 $k$에 대하여 $a_1^k+a_2^k+\cdots+a_m^k$는 $m$의 배수임을 보여라.
어떤 소수 $p$개 만큼의 정수 $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_p$가 있다. 이때 \[ a_1+k, a_2+2k, \ldots, a_p+pk\] 각각을 $p$로 나눈 나머지로 얻을 수 있는 값이 적어도 $p/2$개 이상이 되도록 하는 정수 $k$가 존재함을 보여라.
원에 내접하는 볼록 사각형 $ABCD$의 두 대각선 $AC$와 $BD$가 점 $E$에서 만나고 직선 $AB$와 $CD$가 점 $F$에서 만나며 직선 $BC$와 $DA$가 점 $G$에서 만난다. 만일 삼각형 $ABE$의 외접원이 직선 $CB$와 $B$ 아닌 점 $P$에서 만나고 삼각형 $ADE$의 외접원이 직선 $CD$와 $D$ 아닌 점 $Q$에서 만나며, 네 점 $C$, $B$, $P$, $G$는 이 순서로 한 직선 위에 나타나고, 점 $C$, $Q$, $D$, $F$ 역시 이 순서로 한 직선 위에 나타난다고 한다. 만일 직선 $FP$와 $GQ$가 점 $M$에서 만나면, $\angle MAC=90^\circ$임을 보여라.
정수 $1$, $2$, $\ldots$, $n$으로 이루어진 순열 $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ 중 $n$개의 비율 $\frac{x_k}{k}$ (단, $1\le k\le n$)의 값이 모두 서로 다른 것의 수를 $a_n$이라 하자. 이때 모든 양의 정수 $n$에 대하여 $a_n$은 홀수임을 보여라.