다음 조건을 만족하는 실수 $a_1, a_2, \ldots ,a_{n+2}$가 존재하는 정수 $n \geq 3$을 모두 구하여라.

(조건) $a_{n+1}=a_1$, $a_{n+2}=a_2$이고, $i=1,2, \ldots ,n$에 대하여 \[ a_i a_{i+1} +1 = a_{i+2}\]이다.