2018년 7월 9일~10일 이틀간 매일 4시간 30분씩. 장소: 루마니아 클루지나포카. 홈페이지
loading...
예각삼각형 $ABC$의 외접원을 $\Gamma$라 하자. 점 $D$와 $E$는 각각 변 $AB$와 $AC$ 위에 있고 $AD = AE$를 만족한다. 선분 $BD$와 $CE$의 수직이등분선이 $\Gamma$의 호 $\overparen{AB}$ 중 작은 호, 호 $\overparen{AC}$ 중 작은 호와 각각 점 $F$, $G$에서 만난다. 두 직선 $DE$와 $FG$가 평행함(또는 일치함)을 보여라.
다음 조건을 만족하는 실수 $a_1, a_2, \ldots ,a_{n+2}$가 존재하는 정수 $n \geq 3$을 모두 구하여라.
(조건) $a_{n+1}=a_1$, $a_{n+2}=a_2$이고, $i=1,2, \ldots ,n$에 대하여 \[ a_i a_{i+1} +1 = a_{i+2}\]이다.
정수들의 다음과 같은 정삼각형 모양의 나열을 역파스칼삼각형이라 하자: 가장 밑줄에 있는 수들을 제외하고, 나머지 각 수들은 바로 밑에 있는 두 수의 차(의 절대값)이다. 예를 들어, 다음 나열은 네 개의 가로줄로 이루어지고 $1$부터 $10$까지의 모든 수가 등장하는 역파스칼삼각형이다.
4
2 6
5 7 1
8 3 10 9
2018개의 가로줄로 이루어지고 $1$부터 $1+2+\dots +2018$까지의 모든 수가 등장하는 역파스칼삼각형이 존재하겠는가?
좌표평면 위의 점 $(x,y)$에 대하여, $x$와 $y$가 모두 $20$ 이하의 양의 정수일 때, 이 점을 지점이라 하자.
$400$개의 지점이 처음엔 모두 비어 있다. 수영과 상일이 번갈아 빈 지점에 돌을 놓고, 수영이 먼저 시작한다. 수영은 자기 차례에 빈 지점에 새로운 빨간 돌 하나를 놓되, 빨간 돌이 놓인 어떤 두 지점 사이의 거리도 $\sqrt{5}$가 되지 않도록 놓는다. 상일은 자기 차례에 빈 지점에 새로운 파란 돌 하나를 놓는다. (파란 돌은, 돌이 놓여 있는 지점과의 거리에 상관없이, 빈 지점 어디에나 놓을 수 있다.) 이 게임은 한 사람이 더 이상 돌을 놓을 수 없을 때까지 진행한다.
상일이 어떤 전략으로 파란 돌들을 놓든지 상관없이, 수영이 항상 최소한 $K$개의 빨간 돌을 놓을 수 있는 $K$값 중 가장 큰 값을 구하여라.
양의 정수들의 무한수열 $a_1, a_2, \ldots$에 대하여 다음 조건을 만족하는 정수 $N>1$이 존재한다고 하자.
(조건) 모든 $n \geq N$에 대하여 \[ \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \cdots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1} \]이 정수이다.
다음을 만족하는 양의 정수 $M$이 존재함을 보여라.
모든 $m \geq M$에 대하여 $a_m = a_{m+1}$이다.
볼록사각형 $ABCD$가 $AB \cdot CD = BC \cdot DA$를 만족한다. 사각형 $ABCD$의 내부에 있는 점 $X$가 두 등식 \[ \angle XAB=\angle XCD, \quad \quad \angle XBC=\angle XDA \]를 만족한다. 이때, $\angle BXA+\angle DXC=180^\circ$임을 보여라.