실수 $c\ge 1$가 주어져있다. 가환군(abelian group) $G$의 유한 부분집합 $A$가 $|A+A|\le c|A|$를 만족시킨다고 하자. 여기서 $|X+Y|$는 $\{x+y: x\in X, y\in Y\}$를 뜻하고, $|Z|$는 $Z$의 원소의 개수를 뜻한다. 이때 모든 양의 정수 $k$에 대해 \[ |\underbrace{A+A+\cdots+A}_k| \le c^k |A|\]임을 증명하라.
(2012년 7월 29일 불가리아 Blagoevgrad. 5문제/5시간)
다항식 $f(x)=x^{2012}+a_{2011}x^{2011}+\cdots+a_1 x+a_0$를 이용하여 아인슈타인과 심슨이 다음 게임을 한다. 돌아가면서 각자 $a_0$, $a_1$, $\ldots$, $a_{2011}$ 중 하나의 계수를 골라서 거기에 실수 값을 대입한다. 아인슈타인이 먼저 계수를 골라 대입한다고 한다. 한번 값이 대입되면 그 계수는 누구도 바꿀 수 없다고 한다. 게임은 모든 계수가 정해지면 끝난다. 다항식 $f(x)$가 어떤 고정된 다항식 $m(x)$로 나누어떨어지면 심슨이 이기고, 그렇지 않으면 아인슈타인이 이긴다.
(a) 만일 $m(x)=x-2012$라면 누가 필승전략이 있는가?
(b) 만일 $m(x)=x^2+1$이라면 누가 필승전략이 있는가?
(2012년 7월 29일 불가리아 Blagoevgrad. 5문제/5시간)
유리수 $a$와 양의 정수 $n$에 대해 다항식 $x^{2^n} (x+a)^{2^n}+1$은 $\mathbb{Q}[x]$에서 기약(irreducible)임을 증명하라. (단, $\mathbb Q[x]$는 유리수 계수 다항식의 환(ring)이다.)
(2012년 7월 28일 불가리아 Blagoevgrad. 5문제/5시간)
정수 $n>1$에 대해 $S_n$을 $1$, $2$, $3$, $\ldots$, $n$의 순열군(permutation group)이라고 하자. 두 사람 $A$와 $B$가 아래와 같은 게임을 한다. 돌아가며 한 사람씩 아직 뽑지 않은 $S_n$의 원소를 하나씩 뽑는다. 뽑힌 $S_n$의 원소들이 $S_n$을 생성하면 게임이 끝난다. 마지막에 원소를 뽑은 사람이 진다고 하고 처음에 $A$부터 시작한다고 한다. 누가 필승전략이 있는가?
(2012년 7월 28일 불가리아 Blagoevgrad. 5문제/5시간)