양의 정수 $n$에 대하여 $n\times n$ 실행렬 $A$가 $A^{n+1}=O$를 만족하면 $A^n=O$임을 보여라. (단, $O$는 영행렬이다.)
카테고리 보관물: 대학
2017 제36회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 4번문제
계수가 유리수인 다항식 $f(x,y)$는 임의의 정수 $m$, $n$에 대하여 $f(m,n)$이 정수이다. 이 때, 다항식 $f(x,y)$는 적당한 정수 $c_{ij}$에 대하여 다음과 같이 표현됨을 보여라. \[ f(x,y)=\sum_{i,j\ge 0}c_{ij}\binom{x}{i}\binom{y}{j}\] (단, $\binom{x}{i}=\frac{x(x-1)\cdots (x-i+1)}{i!}$이고 $\binom{x}{0}=1$이다.)
2017 제36회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 5번문제
행렬 $\begin{pmatrix} 2&3&3\\0&3&3\\4&4&4\end{pmatrix}$에 대하여 실행렬 $B$가 $AB=BA$를 만족하면 적당한 실수 $a$, $b$, $c$에 대하여 \[ B=aA^2+bA+cI\]가 성립함을 보여라.
2017 제36회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 6번문제
양의 정수 $n$($n\ge 3$)에 대하여 $n\times n$ 실행렬 $A=(a_{ij})$가 다음 조건을 만족하면 $A$는 가역행렬임을 보여라.
(i) 모든 $i$, $j$에 대하여 $a_{ij}>0$이다.
(ii) 모든 $I$에 대하여 $2a_{ii}=\sum_{j=1}^n a_{ij}$이다.
2017 제36회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 7번문제
수열 $\{a_n\}$은 모든 항이 양수인 감소하는 수열이고, $0<\theta<\frac\pi2$이다. 다음이 성립함을 보여라.\[ \left\lvert \sum_{n=1}^{2017} a_n\cos n\theta\right\rvert\le \frac{\pi a_1}{\theta}\]
2017 제36회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 8번문제
다음 극한값을 구하여라.\[ \lim_{n\to\infty} n\int_0^{\frac\pi2} (1-\sin x)^n \,dx\]