연속이며 미분가능한 함수 $f:(1,\infty)\to\mathbb R$이 $f(x)\le x^2\log (x)$이며 모든 $x\in(1,\infty)$에서 $f'(x)>0$임을 만족한다고 한다. 이때, \[ \int_1^\infty \frac1{f'(x)}\,dx=\infty\]임을 보여라.
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2017 Vojtěch Jarník 국제수학경시대회 2분야 1번문제
모든 $n$에 대해 $a_{n}\in \{0,1\}$인 수열 $(a_n)_{n=1}^\infty$이 있다. 함수 $F:(-1,1)\to\mathbb R$이 \[F(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n x^n\]으로 정의되어 있으며 $F(\frac12)$는 유리수였다고 가정하자. 이때, $F$는 정수 계수를 갖는 두 다항식을 나눈 것과 같음을 보여라.
2017 Vojtěch Jarník 국제수학경시대회 2분야 2번문제
다음 명제를 증명하거나 반증하라. 만일 $g:(0,1)\to (0,1)$이 증가함수이면서 모든 $x\in (0,1)$에 대하여 $g(x)>x$라면, 모든 $x\in (0,1)$에서 $f(x)<f(g(x))$이면서 증가함수가 아닌 연속함수 $f:(0,1)\to\mathbb R$이 존재한다.
2011 제30회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 1번문제
함수 $f(x)$가 다음과 같이 적분으로 정의되어 있다. \[ f(x)=\int_{\sin x}^{1+x} e^{t^2+2xt}\,dt.\] 이 때, $f'(0)$을 구하여라.
2011 제30회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 2번문제
모든 성분 $a_{ij}$가 양의 실수인 $n\times n$ 행렬 $A=(a_{ij})$가 임의의 $1\le j\le n$에 대하여 $\sum_{I=1}^n a_{ij}=1$을 만족한다. 이 때, 방정식 $\det (A-xI)=0$의 근의 절대값은 모두 1 이하임을 보여라.
2011 제30회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 3번문제
다음 정적분 $\int_0^\infty x^3 \pi^{-\sqrt[3]{x^8}}\,dx$의 값을 구하여라.