2017 국제수학올림피아드 1번문제

정수 $a_0>1$에 대하여, 수열 $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\ldots$을 다음과 같이 정의한다.

모든 $n\ge0$에 대하여 \[ a_{n+1}=\begin{cases}\sqrt{a_n},&\sqrt{a_n}\text{이 정수인 경우}\\ a_n+3,&\text{그 외의 경우}\end{cases}\]

무한히 많은 $n$의 값에 대하여 $a_n=A$가 되는 수 $A$가 존재하도록 하는 $a_0$의 값을 모두 구하여라.

2017 국제수학올림피아드 6번문제

정수 $x$, $y$의 최대공약수가 1일 때, 순서쌍 $(x,y)$를 원천점이라 하자. 유한개의 원천점들의 집합 $S$에 대하여, 다음 조건을 만족하는 양의 정수 $n$과 정수 $a_0$, $a_1$, $\ldots$, $a_n$이 존재함을 보여라.

모든 $(x,y)\in S$에 대하여 등식 \[a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_n y^n=1\]이 성립한다.