$m$은 2 이상의 정수이다. $A$는 (양수일 필요가 없는) 정수들로 구성된 유한 집합이고, $B_1$, $B_2$, $B_3$, $\ldots$, $B_m$은 $A$의 부분집합들이다. 각각의 $k = 1,2,\ldots,m$에 대하여 $B_k$의 모든 원소의 합이 $m^k$이다. 이때 $A$가 적어도 $m/2$개의 원소를 포함함을 보여라.
카테고리 보관물: 정수
2020 국제수학올림피아드 5번문제
$n > 1$장의 카드로 이루어진 카드 묶음이 하나 있다. 각각의 카드에는 양의 정수가 하나 적혀있다. 이 카드 묶음은 다음 성질을 만족한다: 임의의 한 쌍의 카드에 적혀있는 두 수의 산술평균은 이 카드묶 음 내의 한 장 또는 여러 장의 카드에 적혀있는 수들의 기하평균과 같다.
어떤 $n$에 대하여, 카드에 있는 수가 항상 모두 같아야할까?
2019 국제수학올림피아드 4번문제
다음 조건을 만족하는 양의 정수의 순서쌍 $(k,n)$을 모두 구하여라. \[ k!=(2^n-1)(2^n-2)(2^n-4)\cdots (2^n-2^{n-1})\]
2018 제32회 한국수학올림피아드 고등부 3번문제
다항식 $f(x)=x^4+2x^3-2x^2 -4x+4$에 대하여 다음을 만족하는 소수 $p$가 무한히 많음을 보여라.
어떠한 양의 정수 $m$에 대해서도 $f(m)$은 $p$의 배수가 아니다.
2018 제32회 한국수학올림피아드 고등부 8번문제
양의 정수 $a$, $c$에 대하여 $b$는 $ac-1$의 양의 약수이다. $1$보다 작은 양의 유리수 $r$에 대하여, 집합 $A(r)$을 다음과 같이 정의하자. \[A(r)=\{ m(r-ac)+nab \mid \text{ $m$, $n$은 정수} \}\] 이때 $A(r)$의 원소 중 가장 작은 양의 유리수가 $\dfrac{ab}{a+b}$ 이상이 되는 $r$을 모두 구하여라.
2018 제32회 한국수학올림피아드 중등부 2번문제
약수의 개수가 $4$ 이상인 양의 정수 $N$에 대하여, $N$의 약수 중 가장 작은 네 개를 각각 제곱하여 더한 값이 $N$과 같아지는 $N$을 모두 구하여라.