2017 제9회 베네룩스수학올림피아드 4번문제

정수 $n\ge 2$에 대하여 가로 $n$칸, 세로 $n$칸 총 $n^2$칸으로 구성된 바둑판 형태의 판의 각 칸에 아래 두 조건을 모두 만족하도록 양의 정수가 적혀 있을때 그것을 베네룩스 $n$바둑판이라고 부르자.

  • $n^2$개 양의 정수 각각이 서로 다르다.
  • 어떤 행이나 열에 속한  $n$개의 수의 최대공약수를 구하여 얻은 $2n$개의 수가 모두 서로 다르다.

(a) 베네룩스 $n$바둑판에는 항상 $2n^2$ 이상의 수가 적힌 칸이 존재함을 보여라.

(b) 모든 칸에 적힌 수가 $2n^2$ 이하인 베네룩스 $n$바둑판을 극소라고 부르자. 극소인 베네룩스 $n$바둑판이 존재할 모든 $n\ge 2$를 구하라.

2017 Baltic Way 팀수학경시대회 18번문제

소수 $p>3$에 대하여 $1,2,3,\ldots,\frac{p-1}{2}$의 순열을 $a_1,a_2,\ldots,a_{\frac{p-1}{2}}$라 하자. 소수 $p$가 어떤 값일 때, 아래 정보만 가지고 순열 $a_1,a_2,\ldots,a_{\frac{p-1}2}$를 항상 결정할 수 있는가?

모든 서로 다른 $i,j\in\{1,2,\ldots,\frac{p-1}{2}\}$에 대하여 $a_ia_j$를 $p$로 나눈 나머지