등식 $7^m=5^n+24$를 만족하는 정수의 순서쌍 $(m,n)$을 모두 구하여라.
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2018 국제수학올림피아드 5번문제
양의 정수들의 무한수열 $a_1, a_2, \ldots$에 대하여 다음 조건을 만족하는 정수 $N>1$이 존재한다고 하자.
(조건) 모든 $n \geq N$에 대하여 \[ \frac{a_1}{a_2} + \frac{a_2}{a_3} + \cdots + \frac{a_{n-1}}{a_n} + \frac{a_n}{a_1} \]이 정수이다.
다음을 만족하는 양의 정수 $M$이 존재함을 보여라.
모든 $m \geq M$에 대하여 $a_m = a_{m+1}$이다.
2018 아시아태평양수학올림피아드 4번문제
정삼각형 $ABC$의 꼭짓점 $A$에서 삼각형 내부 방향으로 빛을 쏜다. 이 빛은 내부를 지나 맞은 변에 도달하면 반사법칙에 따라 움직인다. 반사법칙이란 빛이 각 $\alpha$로 도달하면 각 $180^\circ-\alpha$으로 나간다는 법칙이다. 빛이 다른 두 꼭짓점은 전혀 지나지 않고 $n$번 반사된 후 꼭짓점 $A$에 처음 도달하였다고 한다. 가능한 모든 $n$ 값을 구하여라.
2018 미국수학올림피아드 3번문제
정수 $n\ge2$에 대하여, $n$보다 작으면서 $n$과 서로소인 양의 정수의 집합을 $\{a_1,a_2,\ldots,a_m\}$이라 하자. 만일 $m$을 나누는 모든 소수가 $n$을 나눈다면, 모든 양의 정수 $k$에 대하여 $a_1^k+a_2^k+\cdots+a_m^k$는 $m$의 배수임을 보여라.
2018년 유럽여학생수학올림피아드 2번문제
집합 \[ A=\left\{ 1+\frac1k: k=1,2,3,\ldots\right\}\]를 생각하자.
(a) 임의의 정수 $x\ge 2$는 $A$의 하나 이상의 원소들을 중복을 허용하여 뽑은 것들의 곱으로 나타낼 수 있음을 보여라.
(b) 임의의 정수 $x\ge 2$에 대하여 $f(x)$를 $A$의 원소 하나 이상을 중복을 허용하여 총 $f(x)$개를 뽑아 곱하여 $x$를 얻을 수 있을 최소의 값이라고 하자. 이때 \[f(xy)<f(x)+f(y)\]이면서 $x\ge 2$, $y\ge 2$인 정수 $x$, $y$의 순서쌍 $(x,y)$이 무한히 많음을 보여라.
2018년 유럽여학생수학올림피아드 6번문제
(a) 임의의 $0<t<\frac{1}{2}$인 실수 $t$에 대하여, 다음 성질을 만족시키는 양의 정수 $n$이 존재함을 보여라: $n$개의 양의 정수로 구성된 임의의 집합 $S$이 주어질 때, 그 집합 $S$에서 서로 다른 두 원소 $x$, $y$를 잘 뽑으면 적당한 음 아닌 정수 $m$에 대하여 \[ \lvert x-my\vert \le ty\]가 성립한다.
(b) 임의의 $0<t<\frac{1}{2}$인 실수 $t$에 대하여 적당한 양의 정수로 구성된 무한 집합 $S$를 잘 고르면, 그 집합 $S$에서 서로 다른 두 임의의 원소 $x$, $y$를 잘 뽑으면 임의의 양의 정수 $m$에 대하여 \[\lvert x-my\rvert >ty\]인가?