2017 제78회 William Lowell Putnam 수학경시대회 A5

정수 $1$부터 $n$까지 적힌 $n$장의 카드가 있다. 이 카드를 잘 섞어서 수가 보이지 않게 쌓아두었다. 세 사람 $A$, $B$, $C$가 $A$부터 시작하여 $A$, $B$, $C$, $A$, $\ldots$ 순으로 돌아가며 카드 중에 하나를 임의로 뽑는다. (이때 남아있는 카드 중 각 카드를 뽑을 확률은 동일하다.) 카드를 하나 뽑으면 그 카드와 함께 그 카드에 적힌 수보다 큰 수를 가진 카드를 모두 빼서 버리고 남은 카드는 다시 잘 섞어둔다. 정수 $1$이 적힌 카드를 뽑는 사람이 나올때까지 게임을 계속하며 $1$을 뽑은 사람이 게임을 이긴다.

세 사람 각각에 대하여, 그 사람이 이길 확률이 가장 높게 될 $n$이 있으며 그러한 $n$이 얼마든지 커질 수 있음을 보여라.

2017 제78회 William Lowell Putnam 수학경시대회 A6

정이십면체의 30개 변 각각에 $1$, $2$, $3$, $\ldots$, $30$의 번호를 붙여서 구분하기로 하였다. 각 변을 빨강, 흰색, 파랑색 중 하나로 칠하되, 삼각형 모양의 면 $20$개 모두 두 변은 색이 같고 다른 한 변은 색이 다르게 칠하고자 한다. 이렇게 칠하는 방법의 수는 얼마인가?

2017 제9회 베네룩스수학올림피아드 2번문제

정수 $n\ge2 $이 있다. 총 $n$개의 섬으로 구성된 어떤 나라에서 엘리스와 밥이 아래와 같은 게임을 한다. 이 섬 중 정확히 두 섬만 공장을 가지고 있다. 처음에 이 나라에는 다리가 하나도 없다. 엘리스와 밥은 돌아가면서 각자 자기 차례가 되면 서로 다른 두 섬 $I_1$, $I_2$를 골라 그 사이에 다리를 놓는데, 아래 두 조건을 반드시 만족시켜야 한다.

  • 기존에 $I_1$과 $I_2$ 사이에는 다리가 없었다.
  • $I_1$과 $I_2$ 중 적어도 하나의 섬에서는 다리를 여러 번 지나서 공장이 있는 섬으로 이동할 수 있다 (혹은 그 섬에 공장이 있다). (즉, 다리를 짓기 위해서는 공장으로 이동할 수 있는 길이 있어야 한다.)

한 공장에서 다른 공장으로 이동할 수 있도록 다리가 연결되는 순간 마지막 다리를 놓은 사람이 진다. 엘리스가 먼저 시작하는 경우 각 $n\ge2$에 대하여 누가 필승 전략을 가지고 있는지 결정하라. (단, 다리가 다른 다리 위로 지나가도록 건설할 수 있다.)

2017 Baltic Way 팀수학경시대회 6번문제

가로 4칸, 세로 4칸의 판에서 15개 칸을 골라 각 칸에 하나씩의 돌을 놓았다. 돌 두 개가 한 변을 공유하는 이웃한 칸에 있을 때 돌 하나가 다른 돌을 건너뛰어 반대쪽 칸으로 이동하면서 건너뛴 칸에 있던 돌을 없애는 작업을 그 반대쪽 칸이 없는 경우에는 할 수 있다고 한다.
이때, 어떻게 시작하더라도 마지막에 정확히 돌 하나만 남기도록 하는 것이 가능한가?

2017 Baltic Way 팀수학경시대회 7번문제

꼭짓점 30개인 완전그래프의 각 변을 빨강 혹은 파랑으로 칠하였다. 같은 색으로 이루어지지 않은 삼각형 하나를 골라서 그 삼각형의 두 변의 색을 바꾸어서 같은 색으로만 이루어진 삼각형이 되도록 하는 작업을 반복하면, 모든 변의 색이 똑같게 할 수 있음을 보여라.