1998 아시아태평양수학올림피아드 1번문제

집합 $\{1, 2, \ldots,1998\}$의 부분집합 $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$으로 이루어진 순서쌍 $(A_1, A_2,\ldots, A_n)$ 전체의 집합을 $\mathcal F$라 할 때, \[ \sum_{(A_1,A_2,\ldots,A_n)\in \mathcal F} \lvert A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n\rvert \]을 구하여라. 단, $\lvert A\rvert$는 집합 $A$의 원소의 개수를 나타낸다.

1999 아시아태평양수학올림피아드 5번문제

집합 $S$는 평면 상의 $2n+1$개의 점들로 이루어진 집합으로서 $S$의 어느 세 점도 일직선 상에 있지 않고, 어떤 네 점도 한 원 상에 있지 않다. 어떤 원에 대해 $S$의 점 중 세 점이 원주 상에 있고, $n-1$개의 점은 이 원의 내부에, $n-1$개의 점은 이 원의 외부에 있을 때, 이 원을 ‘좋은’ 원이라 부르자. 좋은 원들의 개수를 $m$이라 하자. $m-n$이 항상 짝수임을 보여라.

2000 아시아태평양수학올림피아드 2번문제

9개의 원이 그림과 같이 삼각형 모양으로 배열되어 있다.

숫자 $1$, $2$, $\ldots$, $9$를 이들 원에, 다음과 같은 조건을 만족하되 중복되지 않도록 써 넣는다고 하자.

(i) 삼각형의 각 변의 4개의 숫자의 합은 모두 같다.

(ii) 삼각형의 각 변의 4개의 숫자의 제곱의 합은 모두 같다.

이 때, 가능한 모든 방법을 찾아라.