2017 국제수학올림피아드 3번문제

한 사냥꾼과 보이지 않는 토끼 한 마리가 평면 상에서 다음과 같은 게임을 한다. 토끼의 출발점 $A_0$와 사냥꾼의 출발점 $B_0$는 일치한다. 게임의 $n-1$번째 라운드를 마친 후 토끼가 위치한 점을 $A_{n-1}$, 사냥꾼이 위치한 점을 $B_{n-1}$이라 하자. $n$번째 라운드에서 다음과 같은 세 가지가 순차적으로 발생한다.

(i) 토끼가 보이지 않게 점 $A_n$으로 움직이고, $A_{n-1}$과 $A_n$의 거리는 정확히 $1$이다.

(ii) 사냥꾼의 추적기가 점 $P_n$의 위치를 알려준다. 이 추적기가 알려주는 점 $P_n$과 $A_n$의 거리는 $1$ 이하임이 보장될 뿐이다.

(iii) 사냥꾼은 눈에 띄게 점 $B_n$으로 움직이고, $B_{n-1}$과 $B_n$의 거리는 정확히 $1$이다.

토끼가 어떻게 움직이든, 추적기가 어떤 점을 알려주든 상관없이 항상 사냥꾼이 $10^9$ 라운드 후에 그와 토끼의 거리가 $100$ 이하가 되도록 할 수가 있겠는가?

2017 국제수학올림피아드 5번문제

정수 $N\ge 2$이 주어져 있다. $N(N+1)$명의 축구선수들이 한 줄로 서 있고, 이들 중 어느 두 사람도 키가 서로 같지 않다. 알렉스 경은 이 선수들 중 $N(N-1)$명을 빼내, $2N$명의 선수들을 남기되, 남아 있는 선수들이 다음과 같은 $N$개의 조건을 만족하도록 한다.

(1) 가장 키가 큰 두 선수 사이에는 아무도 없다.

(2) 세번째로 키가 큰 선수와 네번째로 키가 큰 선수 사이에는 아무도 없다.

$\vdots$

($N$) 가장 키가 작은 두 선수 사이에는 아무도 없다.

이렇게 하는 것이 항상 가능함을 보여라.