1999 아시아태평양수학올림피아드 5번문제

집합 $S$는 평면 상의 $2n+1$개의 점들로 이루어진 집합으로서 $S$의 어느 세 점도 일직선 상에 있지 않고, 어떤 네 점도 한 원 상에 있지 않다. 어떤 원에 대해 $S$의 점 중 세 점이 원주 상에 있고, $n-1$개의 점은 이 원의 내부에, $n-1$개의 점은 이 원의 외부에 있을 때, 이 원을 ‘좋은’ 원이라 부르자. 좋은 원들의 개수를 $m$이라 하자. $m-n$이 항상 짝수임을 보여라.

2000 아시아태평양수학올림피아드 2번문제

9개의 원이 그림과 같이 삼각형 모양으로 배열되어 있다.

숫자 $1$, $2$, $\ldots$, $9$를 이들 원에, 다음과 같은 조건을 만족하되 중복되지 않도록 써 넣는다고 하자.

(i) 삼각형의 각 변의 4개의 숫자의 합은 모두 같다.

(ii) 삼각형의 각 변의 4개의 숫자의 제곱의 합은 모두 같다.

이 때, 가능한 모든 방법을 찾아라.

2000 아시아태평양수학올림피아드 5번문제

수열 $0$, $1$, $2$, $\ldots$, $n$으로 이루어진 순열 $(a_0,a_1,\ldots,a_n)$이 주어져 있다.
(순열 중에서 두 자리만 서로 바꾸는 것을 호환이라고 한다.)

$i>0$일 때 $a_i=0$이고 $a_{i-1}+1=a_j$이면 $a_i$와 $a_j$의 위치를 바꾸는 호환을 법정호환이라 하고, 순열 $(a_0,a_1,\ldots,a_n)$이 유한번의 법정호환에 의하여 순열 $(1,2,\ldots,n,0)$으로 변환할 수 있을 때 순열 $(a_0,a_1,\ldots,a_n)$을 정규순열이라고 한다. 순열 $(1,n,n-1,\ldots,3,2,0)$이 정규순열이 되는 $n$의 값을 모두 구하여라.

2001 아시아태평양수학올림피아드 1번문제

자연수 $n$에 대해 $n$을 10진법으로 쓸 때, 각 자리수의 합을 $S(n)$이라 하자. $n$을 10진법으로 나타낸 후 오른쪽부터 몇 자리수를 (최소한 한 자리 이상) 빈칸없이 잘라내어 얻은 자연수를 $n$의 ‘토막’이라 하자. $T(n)$을 $n$의 모든 토막들의 합이라 할 때, $n=S(n)+9T(n)$임을 증명하여라.

2003 아시아태평양수학올림피아드 5번문제

주어진 두 양의 정수 $m$, $n$에 대하여, 다음의 조건을 만족시키는 가장 작은 양의 정수 $k$를 구하여라.

조건: 임의의 $k$명이 모이면 그 중에는, 둘씩 서로 아는 사람끼리 $m$쌍의 커플을 만들 수 있는 $2m$명이 존재하거나, 둘씩 서로 모르는 사람끼리 $n$쌍의 커플을 만들 수 있는 $2n$명이 존재한다.

2004 아시아태평양수학올림피아드 3번문제

평면 위에, 어느 세 점도 동일 직선 위에 있지 않은 2004개의 점으로 이루어진 집합 $S$를 생각하자. 이 집합 $S$의 서로 다른 두 점을 지나는 모든 직선의 집합을 $\mathcal L$이라 하자. 다음 조건을 만족시키도록 두 가지 이하의 색 만으로 $S$의 각 점을 칠할 수 있음을 증명하시오.

조건: $S$의 임의의 두 점 $p$, $q$에 대하여 $p$와 $q$ 사이를 가르는 $\mathcal L$의 직선들의 개수가 홀수일 필요충분조건은 $p$와 $q$가 같은 색인 것이다.

여기서 직선 $\ell$이 두 점 $p$, $q$를 가른다 함은 두 점 $p$, $q$의 어느 한 점도 $\ell$ 위에 있지 않고, $\ell$에 대하여 서로 반대쪽에 있다는 뜻이다.