2017 Baltic Way 팀수학경시대회 8번문제

체크의 말 중 기사가 다리를 다쳐서 절뚝거리는 바람에, 원래 규칙과 다르게 정상적인 이동을 한 번 한 다음에는 대각선 방향으로 이웃한 칸으로 이동하는 비정상적인 이동을 한 번 하는 것을 교대로 한다고 하자.

가로 5칸, 세로 6칸인 체스판 위에서 다친 기사가 정상 이동에서 시작하여 움직인다고 할 때, 지났던 칸을 다시 지나지 않고 최대한 많은 칸을 방문하고자 할 때 최대 몇 번이나 이동을 할 수 있는가?

2017 Baltic Way 팀수학경시대회 9번문제

정육각형을 $n$개의 합동인 다각형으로 분할할 수 있으면 그 양의 정수 $n$을 데니시라고 부르자. 이때 $n$과 $2^n+n$이 동시에 데니시가 되는 양의 정수 $n$이 무한히 많음을 보여라.

2017 Baltic Way 팀수학경시대회 10번문제

만득이와 깨비가 벽을 건설하고 있다. 만득이는 녹색으로 된 정육면체 모양의 벽돌을 많이 가지고 있으며 깨비는 빨간색으로 된 같은 크기의 벽돌을 많이 가지고 있다. 땅에 벽돌이 딱 들어갈 크기의 정사각형 $m$개가 분필로 표시되어 있다. 만득이와 깨비는 돌아가면서 분필로 표시된 정사각형 중 하나 위에 골라서 거기에 벽돌을 놓거나, 아니면 이미 놓인 벽돌 위에 벽돌을 놓는 게임을 하는데, 단 각각의 벽돌의 높이는 $n$을 넘을 수 없다. 만득이가 먼저 시작한다.

만득이는 한 행을 모두 녹색을 만들 수 있다는, 즉 같은 높이의 $m$개 벽돌이 모두 녹색이 되게 할 수 있다는데 걸었다. 깨비는 만득이가 그렇게 할 수 없다는데 걸었다. 만득이가 반드시 이길 수 있는 전략이 존재할 양의 정수의 순서쌍 $(m,n)$을 모두 구하여라.

2017 제31회 한국수학올림피아드 고등부 8번문제

양의 정수 $n$에 대하여, 총 $2n$명의 학생이 있는 학교가 있다. 이 학교 학생들로 이루어진 집합 $X$에 대하여, $X$에 속한 임의의 서로 다른 두 학생이 서로 아는 사이이면 그 집합 $X$를 잘 짜인 집합이라 부르자. 잘 짜인 집합의 학생 수의 최댓값이 $n$ 이하일 때, 이 학교에서 만들 수 있는 잘 짜인 집합의 개수의 최댓값을 구하여라. 단, 공집합이나 학생 $1$명의 집합 역시 잘 짜인 집합이다.