점 $O$를 중심으로 하는 원 $\Gamma$ 위에 세 점 $A$, $B$, $C$가 있다. $\angle ABC>90^\circ$라고 가정하자. 점$C$에서 직선 $AC$와 수직으로 만나는 직선과 직선 $AB$와의 교점을 $D$라 하자. 직선 $AO$와 수직이고 $D$를 지나는 직선을 $\ell$이라 하자. 이 $\ell$과 직선 $AC$의 교점을 $E$라 하고, 원 $\Gamma$와 $\ell$의 교점 중 $D$와 $E$ 사이에 이있는 것을 $F$라 하자. 이때 삼각형 $BFE$의 외접원은 삼각형 $CFD$의 외접원과 $F$에서 접한다는 것을 증명하라.

모든 양의 실수 $x$, $y$, $z$에 대해 \[  (x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}+(y+z)\sqrt{(x+y)(x+z)}+(z+x)\sqrt{(y+z)(x+y)}\ge 4(xy+yz+zx\]임을 증명하라.

양의 정수 $n$이 주어져있다. 집합 $P_n=\{2^n, 2^{n-1}\cdot 3,  2^{n-2}\cdot 3^2, \ldots, 3^n\}$이라 하자. 집합 $P_n$의 부분집합 $X$에 대해 $S_X$를 $X$의 원소의 합이라고 하자. 단, 공집합 $\emptyset$에 대해서는 $S_\emptyset=0$이라 하자. 실수 $y$가 $0\le y\le 3^{n+1}-2^{n+1}$이라 하자. 이때 $0\le y-S_Y<2^n$인 $P_n$의 부분집합 $Y$가 존재함을 보여라.

양의 정수의 집합 $\mathbb N$에 대해 다음 두 조건을 동시에 만족하는 함수 $f:\mathbb N\to \mathbb N$을 모두 찾으시오.
(i) 모든 양의 정수 $n$에 대해 $f(n!)=f(n)!$.
(ii) 모든 서로 다른 양의 정수 $m$, $n$에 대해 $f(m)-f(n)$은 $m-n$의 배수이다.