2017 발칸수학올림피아드. 2017년 5월 4일.
4시간 30분동안 4문제.
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다음 식을 만족하는 양의 정수의 순서쌍 $(x,y)$를 모두 구하라. \[ x^3+y^3=x^2+42xy+y^2\]
변 $AB$의 길이가 $AC$의 길이보다 짧은 예각삼각형 $ABC$의 외접원을 $\omega$라 하고 점 $B$, $C$에서 $\omega$에 접한 직선을 각각 $t_B$, $t_C$라 하며 이 두 직선의 교점을 $L$이라 하자. 점 $B$를 지나고 $AC$와 평행한 직선이 $t_C$와 만나는 점을 $D$라 하며, 점 $C$를 지나고 $AB$와 평행한 직선이 $t_B$와 만나는 점을 $E$라 하자. 삼각형 $BDC$의 외접원이 선분 $AC$와 점 $T$($\neq C$)에서 만난다. 삼각형 $BEC$와 직선 $AB$가 점 $S$에서 만나며 $B$는 선분 $SA$ 위에 있다. 이때 직선 $ST$, $AL$, $BC$는 한 점에서 만난다는 것을 보여라.
모든 양의 정수 $m$, $n$에 대해 $f(n)+nf(m)$이 $n+f(m)$의 배수가 되는 함수 $f:\mathbb N\to \mathbb N$을 모두 찾아라. 단 $\mathbb N$은 양의 정수 전체의 집합이다.
원탁 주변에 $n>2$명의 학생들이 앉아있다. 처음에는 학생들 각자 사탕을 하나씩 가지고 있다. 각 단계마다 학생들은 다음 두 작업 중 하나를 한다.
(A) 바로 왼쪽에 앉은 학생이나 바로 오른쪽에 앉은 학생에게 사탕 하나를 준다.
(B) 가지고 있는 사탕 전체를 두 집합으로 나누어 집합 하나는 바로 왼쪽에 앉은 학생에게, 다른 집합은 바로 오른쪽에 앉은 학생에게 준다.
각 단계마다 학생들은 위 작업을 동시에 진행한다. 유한번의 단계를 거친 후에 가능한 사탕의 분포의 수를 구하라.
(사탕의 두 분포가 다르다는 말은 적어도 한 명의 학생은 다른 수의 사탕을 가지고 있다는 뜻이다.)