2015년 2월 11일 수요일. 4시간동안 5문제. 출처
loading...
$\frac{10^n}{n^3+n^2+n+1}$이 정수가 되게끔 하는 양의 정수 $n$을 모두 구하여라.
$n$을 2 이상의 정수라 하자. 한 변의 길이가 $n$인 정육각형 $ABCDEF$가 있어, 왼쪽 그림처럼 한 변의 길이가 1인 정삼각형들로 분할되어 있다. 정삼각형의 꼭지점들을 이 도형의 꼭지점이라 부르자.
정육각형 $ABCDEF$의 중심에 말이 놓여져있다. 오른쪽 그림처럼 정육각형 $ABCDEF$의 내부(둘레를 포함하지 않는다)에 있는 꼭지점 $P$ 각각에 대해, $P$와 길이 1인 변으로 연결되어있는 6개의 꼭지점들 중 4개의 꼭지점을 향해 화살표가 그려져 있어, 꼭지점 $P$에 말이 놓여져있을 때 그 4방향 중 한 방향으로 말을 움직이는 것이 가능하다. 단, 길이 1인 변 $PQ$에 대해, 꼭지점 $P$에서 꼭지점 $Q$로 말을 움직이는 것이 가능하더라도 꼭지점 $Q$에서 꼭지점 $P$로 말을 움직이는 것이 항상 가능한 것은 아니다.
이 때, 어떻게 화살표가 그려져있다 하더라도 말을 최대 $k$번 움직여서 정육각형 $ABCDEF$의 둘레 위의 꼭지점에 도착하게 하는 것이 가능한 정수 $k$가 존재함을 보이고, 그러한 $k$의 최솟값을 구하여라.
양의 정수 수열 $\{a_n\}$ ($n=1,2,\cdots$)에 대해, 임의의 양의 정수 $n$에 대해 $a_n < a_{n+1}$이 성립하며 $a_{2n}=2a_n$이 성립할 때 이 수열을 상승수열이라 하자. (1) 수열 $\{a_n\}$이 상승수열이라 하자. $p$가 $a_1$보다 큰 소수일 때, 이 수열에는 $p$의 배수가 등장함을 보여라. (2) $p$를 홀수인 소수라 하자. 상승수열이며, 모든 $p$의 배수가 등장하지 않는 수열 $\{a_n\}$이 존재함을 보여라.
이등변삼각형은 아닌 삼각형 $ABC$가 있어, 그 외접원을 $\Gamma$, 내심을 $I$라 하자. 또한, 삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $AB,AC$와 접하는 점을 각각 $D,E$라 하자. 삼각형 $BEI$의 외접원과 $\Gamma$의 교점 중에 $B$가 아닌 점을 $P$, 삼각형 $CDI$의 외접원과 $\Gamma$의 교점 중에 $C$가 아닌 점을 $Q$라 할 때, 네 점 $D,E,P,Q$가 한 원 위에 있음을 보여라.
$a$를 양의 정수라 하자. 충분히 큰 정수 $n$에 대해 다음이 성립함을 증명하여라.
무한하게 펼쳐진 모눈종이에서 $n$개의 칸을 골라 검게 칠한다. 이 때, $a \times a$의 칸 내에 정확히 $a$개의 칸이 검게 칠해져있는 경우의 수를 $K$라 한다. $K$의 최댓값은 $a(n+1-a)$이다.
단, 충분히 큰 정수 $n$에 대해 성립한다는 것은, 어떤 정수 $N$이 존재하여 임의의 $n \geq N$에 대해 성립함을 뜻한다.