첫날 3문제, 둘째날 3문제로 매일 4시간 반동안 문제를 푼다.
(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
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임의의 양의 정수 $n$에 대해, 모든 자릿수가 홀수이고 $5^n$으로 나누어떨어지는 $n$자리 수가 존재함을 증명하여라.
평면 위의 볼록다각형 $P$를 그 내부의 대각선을 모두 그려 작은 볼록다각형들로 분할했다. 다각형 $P$의 각 변과 각 대각선의 길이는 모두 유리수이다. 분할된 작은 다각형들의 각 변의 길이도 모두 유리수임을 증명하여라.
$n \ne 0$ 이다. $i=0, \dotsc, n$ 에 대해 $0 \le a_i \le i$ 인 임의의 정수들의 수열 \[A = a_0, a_1, a_2, \dotsc, a_n\]에 대해, $a_i$ 항보다 앞서면서 $a_i$와는 다른 항의 개수를 $t(a_i)$라 하자. 그럼 또 다른 수열\[ t(A) = t(a_0), t(a_1), t(a_2), \dotsc, t(a_n)\]을 정의할 수 있다. 위와 같이 임의의 수열 $A$로부터 시작할 때, 변환 $t$를 $n$번보다 적은 횟수를 사용하여 $t(b) = b$ 인 수열 $b$에 이르게 됨을 증명하여라.
삼각형 $ABC$에서, $A$와 $B$를 지나는 한 원이 변 $AC$, $BC$와 각각 $D$, $E$에서 만난다. 직선 $AB$와 $DE$는 $F$에서 만나고 직선 $BD$와 $CF$는 $M$에서 만난다. $MF = MC$ 이면, 또 그 때만 $MB \cdot MD = MC^2$ 임을 증명하여라.
$a$, $b$, $c$가 양의 실수일 때 다음을 증명하여라.\[ \frac{(2a+b+c)^2}{2a^2+(b+c)^2} + \frac{(2b+c+a)^2}{2b^2+(c+a)^2} + \frac{(2c+a+b)^2}{2c^2+(a+b)^2} \le 8\]
정육각형의 각 꼭지점마다 하나의 양의 정수를 써서 합이 $2003^{2003}$이 되도록 하였다. 병팔이가 다음과 같은 방식으로 일련의 움직임을 행한다: 한 꼭지점을 고르고, 그 꼭지점의 수를 그 꼭지점에 이웃한 두 꼭지점의 수의 차로 바꾸어 쓴다. 병팔이는 모든 여섯 개의 수가 똑같이 0이 되어 끝나도록 하는 일련의 움직임을 언제나 찾을 수 있음을 증명하여라.