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양의 실수 $a$, $b$, $c$가 $ab+bc+ca=1$을 만족할 때, 다음 부등식이 성립함을 보여라. \[ \frac{a+b}{\sqrt{ab(1-ab)}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc(1-bc)}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca(1-ca)}}\le \frac{\sqrt{2}}{abc}.\]
(2012년 8월 19일 오전, 2시간 30분)
원 $O$에 내접하는 오각형 $ABCDE$가 $\angle A=90^\circ$, $\overline{AB}=\overline{CD}$를 만족한다. 변 $AE$ 위의 점 $F$($\ne A, E$)에 대하 여 직선 $BF$가 원 $O$와 만나는 점을 $J$($\ne B$), 직선 $CE$와 직선 $DJ$가 만나는 점을 $K$, 직선 $BD$와 직선 $FK$가 만나는 점을 $L$이라 하자. 네 점 $B$, $L$, $E$ $F$가 한 원 위에 있음을 보여라.
(2012년 8월 19일 오전, 2시간 30분)
등식 $5^\ell (43^m)+1=n^3$을 만족하는 양의 정수 $\ell$, $m$, $n$을 모두 구하여라.
(2012년 8월 19일 오전, 2시간 30분)
어떤 모임에서 학생 $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_n$이 서로 악수를 하였다. 학생 $A_i$가 악수한 횟수를 $d_i$($1\le i\le n$)이라 할 때, $d_1+d_2+\cdots+d_n>0$이다. 다음 조건을 모두 만족하는 $i$, $j$ ($1\le i<j\le n$)이 존재함을 보여라.
(1) 학생 $A_i$와 학생 $A_j$는 악수를 하였다.
(2) $\displaystyle \frac{(d_1+d_2+\cdots+d_n)^2}{n^2} \le d_i d_j$
(두 학생이 악수를 여러 번 할 수도 있다.)
(2012년 8월 19일 오전, 2시간 30분)
원 $O$에 내접하는 사각형 $ABCD$ ($\overline{AB}>\overline{AD}$)의 변 $AB$ 위에 $\overline AE=\overline AD$가 되도록 점 $E$를 택하고, 직선 $AC$와 $DE$의 교점을 $F$, 직선 $DE$와 원 $O$의 교점을 $K$($\ne D$)라 하자. 점 $C$, $F$, $E$를 지나는 원의 점 $E$에서의 접선과 직선 $AK$가 점 $L$에서 만난다고 할 때, $\overline{AL}=\overline{AD}$일 필요충분조건이 $\angle KCE=\angle ALE$임을 보여라.
(2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분)
$3$보다 큰 소수 $p$가 다음 조건을 만족한다.
$2^x-1$이 $p$의 배수가 되는 양의 정수 $x$ 중 가장 작은 것이 $p-1$이다.
$p=2k+3$이라 할 때, 수열 $\{a_n\}$을 식 \[a_i=a_{k+i}=2^i \quad (1\le i\le k), \qquad a_{j+2k}=a_i a_{j+k} \quad (j\ge 1)\]에 따라 귀납적으로 정의하자. 수열 $\{a_n\}$에는 $p$로 나눈 나머지가 모두 다른 $2k$개의 연속한 항이 존재함을 보여라.
(2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분)
모든 $x_k$ ($k=1,2,3,4,5$)가 양수이고, $\{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5\}=\{1,2,3,4,5\}$일 때, \[\frac{( \sqrt{s_1 x_1}+\sqrt{s_2 x_2}+\sqrt{s_3 x_3}+\sqrt{s_4 x_4}+\sqrt{s_5 x_5})^2}{a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+a_4x_4+a_5x_5}\]의 최댓값을 구하여라. (단 $s_k=a_1+a_2+\cdots+a_k$)
(2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분)
$1$번부터 $n$번까지 $n$명의 학생이 있다. $1$에서 $n$까지의 정수가 각각 하나씩 적혀있는 $n$장의 카드가 들어 있는 통에서 각자 카드를 한 장씩 뽑기로 한다. 두 사람이 서로 상대방의 번호가 적힌 카드를 뽑으면 그 두 사람을 짝이라고 하자. 짝이 하나도 생기지 않을 확률을 $p_n$이라고 할 때, 다음이 성립함을 보여라.\[p_n-p_{n-1}=\cases{ 0 & \text{$n$은 홀수}\cr \frac{1}{(-2)^k k!} & n=2k}\]
(2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분)