$n^2+1$이 $m$의 배수이면서 $m^2+1$이 $n$의 배수가 되는 양의 정수의 순서쌍 $(m,n)$이 무한히 많은가?
(2013년 1월 31일, 3시간 반, 출처)

삼각형 $ABC$ 내부에 $\angle ABP=\angle PCA$가 되게 점 $P$가 있다고 한다. 삼각형 $PBQC$가 평행사변형이 되도록 점 $Q$가 있다고 한다. 이때 $\angle QAB=\angle CAP$임을 증명하라.
(2013년 1월 31일, 3시간 반, 출처)

이진법으로 $2013$자리이면서 $0$의 수가 $1$보다 많은 양의 정수의 집합을 생각하자. 이 집합의 원소의 수를 $n$, 이 집합의 원소들의 합 $s$라 하자. 이때 $n+s$를 이진법으로 표현하면 $0$이 $1$보다 많음을 보여라.
(2013년 1월 31일, 3시간 반, 출처)

정사각형 $ABCD$에 내접하는 원 위에 점 $P$가 있다. $PA$, $PB$, $PC$, $PD$, $AB$의 길이가 모두 양의 정수가 되는 것이 가능한가?
(2013년 1월 31일, 3시간 반, 출처)