출처: https://bmos.ukmt.org.uk/home/bmo2-2017.pdf
2017년 1월 26일. 3시간 30분.
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좌표평면 위에서 $x$좌표 $y$좌표가 모두 정수인 점들을 정수점이라 하자. 세 정수점을 꼭짓점으로 하는 직각삼각형 둘레에 세 꼭짓점을 포함하여 정확하게 $n$개의 정수점이 있다고 한다. 이러한 일이 가능한 양의 정수 $n\lt 2017$의 수를 구하라.
실수 $x$보다 작거나 같은 정수 중 가장 큰 정수를 $\lfloor x\rfloor$라 하자. 양의 정수 $n$에 대해 \[ a_n=\frac1n \left( \lfloor \frac{n}{1} \rfloor +\lfloor \frac{n}{2} \rfloor +\cdots+\lfloor \frac{n}{n} \rfloor \right)\]으로 정의된 수열 $a_1$, $a_2$, $\ldots$이 있다. 이때 무한히 많은 $n$에 대해 $a_{n+1}\gt a_n$임을 보여라. 그리고 무한히 많은 $n$에 대해 $a_{n+1}\lt a_n$이 되는지 판별하라.
원에 내접하는 사각형 $ABCD$의 두 대각선 $AC$, $BD$가 점 $P$에서 만나고, 반직선 $AD$와 $BC$가 점 $Q$에서 만난다고 한다. 각 $BQA$의 이등분선이 직선 $AC$와 만나는 점을 $R$, 각 $APD$의 이등분선이 직선 $AD$와 만나는 점을 $S$라 하자. 이때 직선 $RS$는 직선 $CD$와 평행함을 보여라.
폭탄이 설치된 어느 금고를 열기 위해서는 3자리 비밀번호를 눌러야 한다. 알렉스는 실제로 금고에 비밀번호를 입력하지 않고도 어떤 3자리가 실제 비밀번호와 가까운지 알려주는 탐지기를 가지고 있다. 이 탐지기는 맞는 자릿수가 하나도 없으면 “실패”라고 알려주며, 그렇지 않으면 (정확한 비밀번호라도) “가까움”이라고 알려준다. 예를 들어 비밀번호가 014일때, 099나 014는 모두 “가까움”이라고 알려주며 140이라고 하면 “실패”라고 알려준다. 만일 알렉스가 최적의 전략을 사용할 때, 비밀번호가 무엇이든지간에 이 탐지기로 비밀번호를 알아내려고 할때 필요한 최소의 탐지기 사용 횟수는 얼마인가?