3시간 30분에 5문제.

(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)

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두 점 $P$와 $Q$가 정사면체의 내부에 놓여있다. $\angle PAQ < 60^\circ$ 임을 증명하여라.

다음과 같이 정의되는 수열 $\{X_n\}$, $\{Y_n\}$이 있다. \begin{align*} X_0=1, & \quad X_1=1, & \quad X_{n+1} = X_n + 2 X_{n-1} & \quad (n = 1, 2, 3, \ldots) \\ Y_0=1, & \quad Y_1=7, & \quad Y_{n+1} = 2 Y_n + 3 Y_{n-1} & \quad (n = 1, 2, 3, \ldots) \end{align*} 이 두 수열의 처음 몇 항은 다음과 같다. \begin{align*} X : & 1, ~ 1, ~ 3, ~ 5, ~ 11, ~ 21, ~ \ldots \\ Y : & 1, ~ 7, ~17, ~55, ~161, ~487, ~ \ldots \end{align*} 이 두 수열에 공통으로 나타나는 수는 1 밖에 없음을 보여라.

주어진 정$(2n+1)$각형에서 임의로 세 꼭지점을 택했다. 모든 선택이 균일한 확률을 갖는다면, 이렇게 택한 세 점에 의해 결정되는 삼각형의 내부에 원래의 정다각형의 중심이 놓일 확률은 얼마인가?

다음 연립방정식의 모든 실근과 복소근을 구하여라.\begin{align*} x+y+z &= 3 \\ x^2+y^2+z^2 &= 3 \\ x^3+y^3+z^3 &= 3 \end{align*}

서로 다른 세 소수의 세제곱근은 등차수열의 (꼭 연속할 필요는 없는) 세 항이 될 수 없음을 보여라.