3시간 30분에 5문제.

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기호 $(a,b,\dotsc,g)$와 $[a,b,\dotsc,g]$는 각각 양의 정수 $a,b,\dotsc,g$의 최대공약수와 최소공배수를 나타낸다. 예를 들어, $(3,6,18)=3$ 이고 $[6,15]=30$ 이다. 다음을 증명하여라.\[ \frac{[a,b,c]^2}{[a,b][b,c][c,a]} = \frac{(a,b,c)^2}{(a,b)(b,c)(c,a)}\]

주어진 사면체 $ABCD$는 등변사면체, 즉 $AB=CD$, $AC=BD$, $AD=BC$ 를 만족한다. 이 사면체의 각 면은 모두 예각삼각형임을 보여라.

아홉 개의 정수 $1,2,\dotsc,9$ 중에서 균일한 확률로 임의의 하나를 고를 수 있는 선택기가 있다. 수를 $n(>1)$번 고른 후, 이 $n$개의 수의 곱이 10으로 나누어 떨어질 확률을 구하여라.

임의의 음이 아닌 유리수 $R$에 대해 다음 부등식이 성립되도록 하는 양의 정수 $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$를 구하여라.\[ \left\lvert \frac{aR^2 + bR + c}{dR^2 + eR + f} – \sqrt[3]{2} \right\rvert < \lvert R - \sqrt[3]{2}\rvert \]

5개의 삼각형 $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$, $EAB$의 넓이가 각각 1인 볼록오각형 $ABCDE$가 주어져있다. 이런 볼록오각형은 모두 같은 넓이를 가짐을 보이고 그 넓이를 구하여라. 또한, 이런 성질을 갖는 합동이 아닌 오각형이 무한히 많이 있음을 보여라.