3시간 30분에 5문제.
(KAIST 수학문제연구회와 xMO 까페의 번역 지원을 받았습니다.)
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방정식 $x^4 – 18x^3 + kx^2 + 200x – 1984 = 0$ 의 네 근 중 어느 두 근의 곱이 $-32$이다. $k$의 값을 구하여라.
$m$개의 음이 아닌 수들의 집합의 기하평균이란 이 수들의 곱의 $m$제곱근을 말한다.
(i) 서로 다른 $n$개의 양의 정수들을 모은 집합 $S_n$에 대해, $S_n$의 임의의 부분집합의 기하평균이 정수가 되도록 하고 싶다. 이런 $S_n$이 존재하는 양의 정수 $n$은 어떤 것들인가?
(ii) 서로 다른 양의 정수들을 모은 무한집합 $S$ 중에서, 그 임의의 유한한 부분집합의 기하평균이 모두 정수가 되는 것이 있는가?
주어진 예각 $\theta$에 대해, 3차원 공간의 다섯 점 $P$, $A$, $B$, $C$, $D$는 $\angle APB = \angle BPC = \angle CPD = \angle DPA = \theta$ 를 만족한다. $\angle APC + \angle BPD$ 의 최대값과 최소값을 구하여라.
어떤 어려운 수학경시대회가 1부 시험과 2부 시험으로 나뉘어져 치러졌는데, 둘을 합해 모두 28문제가 출제되었다. 각 참가자는 이 중 7문제씩을 풀었다. 각각의 두 문제의 쌍에 대해서, 두 문제를 모두 푼 참가자는 정확히 2명씩이었다. 그럼 1부 시험에서 한 문제도 못 풀거나 4문제 이상을 푼 참가자가 있음을 증명하여라.
$P(x)$는 다음을 만족하는 $3n$차 다항식이다. 이 때, $n$을 구하여라. \begin{align*} P(0) = P(3) = \cdots ={} &P(3n) = 2 \\ P(1) = P(4) = \cdots ={} &P(3n-2) = 1 \\ P(2) = P(5) = \cdots ={} &P(3n-1) = 0 \\ &P(3n+1) = 730 \end{align*}