양의 정수의 집합 위에서 정의된 함수 $f$가 $f(1)=1$을 만족하고 모든 $n>1$에 대하여 \[ f(n)=f\left( \left\lfloor \frac{2n-1}{3} \right\rfloor \right) + f\left( \left\lfloor \frac{2n}{3} \right\rfloor \right) \]을 만족한다고 하자. ($\lfloor x\rfloor$란 $x$보다 작거나 같은 정수 중 가장 큰 것을 뜻한다. )
모든 $n>1$에 대해 $f(n)-f(n-1)\le n$인가?
(2012년 1월 26일, 3시간 반동안 4문제)
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1988 제1회 한국수학올림피아드 최종시험 4번문제
$a_0=0, a_1=a_2=1$ 이고 \[a_{n+1} = a_n + a_{n-1}, \qquad n\geq 1\]인 수열 $\{a_n\}$에 대하여 다음 물음에 답하여라.
(1) 임의의 자연수 $j, k$에 대하여 \[a_{j+k} = a_j a_{k-1} + a_{j+1} a_k\]이 성립함을 밝혀라.
(2) 임의의 자연수 $k, n$에 대하여 $a_{kn}$은 $a_k$로 나누어 짐을 밝혀라.
(3) 서로 이웃하는 두 항 $a_n, a_{n+1}$ 서로 소임을 밝혀라.
(1988년 5월 1일)