피보나치 수열에는 1000의 배수가 있음을 보여라.
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1996 아일랜드 수학올림피아드 6번문제
피보나치 수열은 $F_0=0$, $F_1=1$, 그리고 $n \geq 0$ 에 대해 $F_{n+2} = F_n + F_{n+1}$ 로 정의된다. 다음을 증명하여라.
(1) “$F_{n+k} – F_n$ 이 모든 자연수 $n$에 대해 10으로 나누어떨어진다”는 문장은
$k=60$ 일 때는 참이지만 $k<60$ 이면 항상 거짓이다.
(2) ``$F_{n+t} - F_n$ 이 모든 자연수 $n$에 대해 100으로 나누어떨어진다''는 문장은
$t=300$ 일 때는 참이지만 $t<300$ 이면 항상 거짓이다.
2013 제27회 한국수학올림피아드 중등부 3번문제
양의 정수로 이루어진 수열 $a_1,a_2,a_3,\ldots$이 식 $a_{i+2}=a_{i+1}+a_i$ ($i\ge 1$)을 항상 만족할 때, 모든 양의 정수 $n$에 대하여 다음의 값이 양의 정수임을 보여라. \[ \frac{a_1+a_2+\cdots+a_{4n-2}}{a_{2n+1}}\]
1988 제1회 한국수학올림피아드 최종시험 4번문제
$a_0=0, a_1=a_2=1$ 이고 \[a_{n+1} = a_n + a_{n-1}, \qquad n\geq 1\]인 수열 $\{a_n\}$에 대하여 다음 물음에 답하여라.
(1) 임의의 자연수 $j, k$에 대하여 \[a_{j+k} = a_j a_{k-1} + a_{j+1} a_k\]이 성립함을 밝혀라.
(2) 임의의 자연수 $k, n$에 대하여 $a_{kn}$은 $a_k$로 나누어 짐을 밝혀라.
(3) 서로 이웃하는 두 항 $a_n, a_{n+1}$ 서로 소임을 밝혀라.
(1988년 5월 1일)