소수 $p$에 대하여 \[f_p(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1\]이라 할 때, 다음 물음에 답하여라.
(1) 양의 정수 $m$이 $p$의 배수일 때, $m(m-1)$과 서로소이면서 $f_p(m)$을 나누는 소수가 존재함을 보여라.
(2) $pn+1$이 소수가 되는 양의 정수 n이 무한히 많음을 보여라.
(2004년 4월 11일, 4시간 30분, 3문제, 출처)
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1995 제8회 한국수학올림피아드 최종시험 1번문제
임의의 자연수 $m$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 정수 $a, b$가
존재함을 보여라. $$|a| \le m, \ |b|\le m,\ 0<a+b\sqrt 2 \le \frac{1+\sqrt 2}{m+2}$$
(1995년 4월 15일)