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임의의 자연수 $m$에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 정수 $a, b$가
존재함을 보여라. $$|a| \le m, \ |b|\le m,\ 0<a+b\sqrt 2 \le \frac{1+\sqrt 2}{m+2}$$

(1995년 4월 15일)

$A$를 음이 아닌 정수들의 집합이라 할 때 다음 두 조건을 만족시키는 함수 $f : A\to A$를 모두 구하여라.

(i) 임의의 $m, n \in A$에 대하여 $$2f(m^2+n^2) = \{f(m)\}^2 + \{f(n)\}^2$$

(ii) $m, n\in A$이고 $m\ge n$ 이면 $f(m^2)\ge f(n^2)$

(1995년 4월 15일)

한변의 길이가 1인 정삼각형 $ABC$의 변 $BC$위에 임의의 점 $D$를 잡고 삼각형 $ABD, ADC$의 내접원의 반지름을 각각 $r_1, r_2$라 한다. $\overline{BD}=p$ 라 할때 $r_1r_2$를 $p$의 식으로 나타내고 $r_1r_2$의 최대값을 구하여라.

(1995년 4월 15일)

삼각형 $ABC$의 외접원의 중심을 $O$, 반지름의 크기를 $R$이라 한다.  삼각형이 놓인 평면위의 임의의 점 $P$를 잡고, $P$에서 세 변 또는 그 연장선 위에 내린 수선의 발을 각각 $A_1, B_1, C_1$ 이라 한다. $\overline{OP}=d$ 라 할 때 $\frac{(\triangle A_1B_1C_1)}{(\triangle ABC)}$의 값을 $R, d$ 의 식으로 나타내어라. 단, $(\triangle ABC)$는 $\triangle ABC$ 의 넓이이다.

(1995년 4월 16일)

소수 $p$에 대하여 $p^2 | a$, $ (a, b)=p$ 일 때, 다항식 $$x^{n+2} +ax^{n+1}+bx^n+a+b$$는 일차 이상의 두 정수계수 다항식의 곱이 될 수 없음을 증명하여라. 단, $n$은 양의 정수이고, $a$가 $p^2$으로 나누어 떨어질 때 기호 $p^2|a$로 나타내며, $(a, b)$는 $a, b$의 최대공약수를 뜻한다.

(1995년 4월 16일)

$m, n$을 $1\le n\le m-1$을 만족하는 자연수라고 하자. 어떤 회사의 $m$명의 중역으로 구성된 위원회에서 비밀문서를 보관할 금고를 제작하고자 한다. 금고에는 서로 다른 $\ell$개의 자물쇠를 달고 위원 각각에게는 서로 다른 $k$개의 열쇠를 지급하여 $n+1$명 이상의 위원이 모이면 항상 금고를 열 수 있지만, $n$명 이하의 위원이 모여서는 절대로 열 수 없도록 하려고 한다. $\ell$의 최소값과 이 때의 $k$의 값을 구하여라.

(1995년 4월 16일)