아래 조건을 만족하는 집합이 존재할 모든 $1$보다 작은 양의 실수 $r$을 모두 구하여라.
임의의 실수 $t$에 대해 $t$, $t+r$, $t+1$ 중 정확히 하나만 집합 $S$의 원소이며, $t$, $t-r$, $t-1$ 중 정확히 하나만 $S$의 원소이다.
(2013년 3월 14일, 출처, 4시간 30분)
태그 보관물: 존재성
2012 제26회 한국수학올림피아드 고등부 8번문제
$4$로 나눈 나머지가 $3$인 소수 $p$에 대하여 \[ T=\{(i,j) | i,j\in \{0,1,\ldots,p-1\}\}-\{(0,0)\}\]이라 하자. $T$의 임의의 부분집합 $S$ ($\ne \emptyset$)에 대하여, $S$의 부분집합 중 다음 조건을 모두 만족하는 집합 $A$가 존재함을 보여라.
(1) $(x_i,y_i)\in A$ ($1\le i\le 3$)이면 $x_1+x_2-y_3$과 $y_1+y_2+x_3$ 중 적어도 하나는 $p$의 배수가 아니다.
(2) $8n(A)>n(S)$ (단, $n(X)$는 집합 $X$의 원소의 개수이다.)
(2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분)
2012 중국여자수학올림피아드 7번문제
양의 정수의 수열 $a_1\le a_2\le \cdots$에 대하여, $\displaystyle \frac{r}{a_r}=k+1$인 어떤 두 양의 정수 $k$와 $r$이 존재한다고 한다. 이때, $\displaystyle \frac{s}{a_s}=k$인 양의 정수 $s$가 존재함을 보여라.
(2012년 8월 11일, 광저우, 둘째날 4시간동안 5~8번 문제)
2012 국제수학올림피아드 6번문제
다음 조건을 만족하는 양의 정수 $n$을 모두 구하여라: 등식 \[ \frac1{2^{a_1}}+ \frac1{2^{a_2}}+ \cdots + \frac1{2^{a_n}}= \frac1{3^{a_1}}+ \frac2{3^{a_1}}+ \cdots + \frac{n}{3^{a_1}}=1\]을 만족하는 음이 아닌 정수 $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_n$이 존재한다.
(2012년 7월 11일 아르헨티나 Mar del Plata)
2006 제19회 한국수학올림피아드 최종시험 2번문제
양의 정수 $a$에 대하여 집합 $S_a$를 다음 조건을 만족하는 소수 $p$ 전체의 집합이라 하자.
(조건) 적당한 홀수 $b$가 존재하여 $p$는 $(2^{2^b})^b-1$의 약수이다.
임의의 양의 정수 $a$에 대하여, 집합 $S_a$에 속하지 않는 소수가 무한히 많음을 보여라
(2006년 3월 25일, 4시간 30분, 3문제, 출처)
2006 제19회 한국수학올림피아드 최종시험 6번문제
양의 정수 $N$이 다음 두 성질을 만족하면 “$n$-좋은수”라 한다.
(성질 1) $N$은 $n$개 이상의 서로 다른 소수로 나누어진다.
(성질 2) $N$을 나누는 서로 다른 $n$개의 양의 정수 $1,x_2,\ldots,x_n$이 존재하여 \[1+x_2+\cdots+x_n=N\]을 만족한다.
양의 정수 $n$이 $6$ 이상이면 $n$-좋은수가 언제나 존재함을 보여라.
(2006년 3월 26일, 4시간 30분, 3문제, 출처)