$x$는 실수이고 $f(x)=\max (0, 1-|x|)$에 대하여 $g(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty 2^k f(x-2k)$ 라 한다. $a_n =\max\limits_{-n\le x\le n} g(x)$ 라 할 때 \[\frac 14 \lt \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{-n} a_n}{1+a_n} \lt \frac 54\]임을 증명하여라.
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2013 국제대학생수학경시대회(IMC) 첫째날 5번문제
모든 양의 정수 $p$에 대해 $\sum_{n=1}^\infty a_n^p$가 수렴할 필요충분조건이 $p$가 소수인 것이 되도록 하는 복소수의 수열 $(a_n)$이 존재하는가?
(2013년 8월 8일, 불가리아, 5문제, 출처)