$a_n = 2 \cos \dfrac t{2^n} – 1$ 이라 할 때 곱 $a_1a_2 \cdots a_n$을 간단한 식으로 나타내어라. 그리고 이 곱이 $\dfrac{2 \cos t + 1}3$ 으로 수렴함을 보여라.
태그 보관물: 수렴
2014 제33회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 2번문제
모든 항이 실수인 수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$은 \[\lim_{n\to\infty} (a_n+b_n)=0,\quad \lim_{n\to\infty} (e^{a_n}+e^{b_n})=2\]를 만족한다. 수열 $\{a_n\}$이 수렴함을 보여라.
2013 제32회 전국 대학생 수학경시대회 3번문제
임의의 양의 정수 $n$에 대하여, 방정식 $x^n+x^{n-1}+x-1=0$의 음이 아닌 유일한 실수해를 $x_n$이라 하자. 이 때, 수열 $\{x_n\}$은 증가수열이고 1로 수렴함을 증명하여라.
(2013년 10월 5일 10:00-13:00)
2013 국제대학생수학경시대회(IMC) 첫째날 5번문제
모든 양의 정수 $p$에 대해 $\sum_{n=1}^\infty a_n^p$가 수렴할 필요충분조건이 $p$가 소수인 것이 되도록 하는 복소수의 수열 $(a_n)$이 존재하는가?
(2013년 8월 8일, 불가리아, 5문제, 출처)
2012 국제대학생수학경시대회(IMC) 둘째날 2번문제
수열 $a_0$, $a_1$, $\ldots$을 아래와 같이 정의하자: $a_0=1$, $a_0=\frac{1}{2}$, \[a_{n+1}=\frac{n a_n^2}{1+(n+1)a_n}, \quad \forall n\ge 1.\]
이때 $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{a_{k+1}}{a_k}$은 수렴함을 증명하고 그 값을 구하라.
(2012년 7월 29일 불가리아 Blagoevgrad. 5문제/5시간)