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모든 고유값(eigenvalue)이 $1$보다 큰 두 실수 대칭행렬 $A$, $B$가 있다. 어떤 실수 $\lambda$가 행렬 $AB$의 고유값이라면 $\lvert \lambda\rvert\gt 1$임을 증명하라.
(2013년 8월 8일, 불가리아, 5문제, 출처)

두 번 미분가능한 함수 $f:\mathbb R\to\mathbb R$이 있다. $f(0)=0$이라고 할때 \[ f”(\xi)=f(\xi)(1+2\tan^2\xi)\]이 되는 $\xi\in(-\pi/2,\pi/2)$이 존재함을 보여라.
(2013년 8월 8일, 불가리아, 5문제, 출처)

어느 학교에 $2n$명의 학생이 있다. (단 $n\in \mathbb N$, $n\ge 2$.) 매주 $n$명의 학생이 여행을 간다. 몇번 여행을 간 후 살펴봤더니, 임의의 두 학생은 적어도 한 번의 여행을 함께 하였더라고 한다. 이때 이런 일이 가능한 최소의 여행수는 몇 번인가?
(2013년 8월 8일, 불가리아, 5문제, 출처)

정수 $n\ge 3$에 대해 $x_1,x_2,\ldots,x_n$이 음 아닌 실수라 하자. 이때 $A=\sum_{i=1}^n x_i$, $B=\sum_{i=1}^n x_i^2$, $C=\sum_{i=1}^n x_i^3$이라 할때 다음 부등식을 증명하라. \[ (n+1)A^2B+(n-2)B^2\ge A^4+(2n-2)AC.\]
(2013년 8월 8일, 불가리아, 5문제, 출처)

모든 양의 정수 $p$에 대해 $\sum_{n=1}^\infty a_n^p$가 수렴할 필요충분조건이 $p$가 소수인 것이 되도록 하는 복소수의 수열 $(a_n)$이 존재하는가?
(2013년 8월 8일, 불가리아, 5문제, 출처)

복소수 $z$가 $\lvert z+1\rvert \gt 2$라면 $\lvert z^3+1\rvert \gt 1$임을 증명하라.
(2013년 8월 9일, 불가리아, 5문제, 출처)

서로 소인 양의 정수 $p$, $q$가 있다. 이때 다음을 증명하라. \[ \sum_{k=0}^{pq-1}(-1)^{\lfloor k/p\rfloor+\lfloor k/q\rfloor}=\begin{cases} 0 & \mbox{$pq$가 짝수인 경우}\\ 1 &\mbox{$pq$가 홀수인 경우}\end{cases}\] 여기서 $\lfloor x\rfloor $는 $x$보다 크지 않은 가장 큰 정수를 뜻한다. )
(2013년 8월 9일, 불가리아, 5문제, 출처)

$v_1,v_2,\ldots,v_d$는 $\mathbb R^d$의 단위 벡터라고 하자. 이때 모든 $i=1,2,\ldots,d$에 대해 \[ \lvert u\cdot v_i\rvert \le 1/\sqrt{d}\]가 되는 단위 벡터 $u$가 존재함을 증명하라. (단, $\cdot$은 $\mathbb R^d$에서 흔히 사용되는 내적이다.)
(2013년 8월 9일, 불가리아, 5문제, 출처)

임의의 $a,b\in M$에 대해 그 합 $a+b$가 $1$ 아닌 완전제곱수를 약수로 갖지 않도록 하는 양의 정수의 무한집합 $M$이 존재하는가?
(2013년 8월 9일, 불가리아, 5문제, 출처)

$2013$개의 구슬을 꿰어 만든 원형의 목걸이가 있다. 각각의 구슬은 흰색 아니면 녹색이다. 목걸이에서 임의의 연속한 $21$개의 목걸이 중에 적어도 하나의 녹색 구슬이 있으면 그 목걸이 색깔은 좋다고 하자. 가능한 좋은 색깔의 수는 홀수임을 증명하라.
(2013년 8월 9일, 불가리아, 5문제, 출처)