$x=m$, $y=n$ ($m$, $n$은 정수)인 직선들을 그려 평면을 무한한 크기의 바둑판 형태로 자르자. 어떤 칸의 오른쪽 위 모서리의 $x$, $y$ 좌표 모두 짝수라면 그 칸을 검정으로 칠하고 그렇지 않다면 흰색으로 칠하여 전체 칸의 총 $1/4$이 검정색이 되게 하자. 두 홀수 $r$, $s$를 생각하자. 어떤 흰 칸 내부에서 $rx-sy$가 무리수가 되는 점 $(x,y)$를 생각하자. 이 점 $(x,y)$에서 빛을 기울기 $r/s$로 발사하는데, 흰 칸은 통과하고 검은 칸을 만나면 반사한다고 하자. 이때 이 빛이 지나가는 경로는 닫힌 폐곡선을 이루게 된다는 것을 증명하라.
(2013년 6월 21일, 4시간 반동안 3문제, 출처)
태그 보관물: 반사
1996 제9회 한국수학올림피아드 최종시험 5번문제
반지름의 길이가 1이고 중심각의 크기가 $\alpha (0<\alpha <\frac{\pi}2)$인 부채꼴 $OAB$가 주어져 있다. 호 $AB$ 위의 점 $P$에서 출발한 빛이 변 $OB$위의 점 $Q$와 변 $OA$위의 점 $R$과 점 $P$에서 반사하여 $$P\to Q\to R\to P\to Q\to R\to$$ 와 같이 진행할 때 삼각형 $PQR$의 둘레의 길이는 $P$의 위치에 관계없이 일정함을 보이고 그 값을 구하여라.
(1996년 4월 14일)