임의의 삼각형 $ABC$의 내접원이 변 $BC$, $CA$ ,$AB$와 접하는 점을 각각 $P$, $Q$, $R$이 라하자. 삼각형 $ABC$의 넓이를 $T$, 둘레의 길이를 $L$이라 할 때, 다음 부등식이 성립함을 보여라.
\[ \left(\frac{AB}{PQ}\right)^3+\left(\frac{BC}{QR}\right)^3+\left(\frac{CA}{RP}\right)^3\ge \frac2{\sqrt{3}} \cdot \frac{L^2}{T}.\]
(2010년 3월 27일, 출처, 4시간 30분)

반지름의 길이가 1이고 중심각의 크기가 $\alpha (0<\alpha <\frac{\pi}2)$인 부채꼴 $OAB$가 주어져 있다. 호 $AB$ 위의 점 $P$에서 출발한 빛이 변 $OB$위의 점 $Q$와 변 $OA$위의 점 $R$과 점 $P$에서 반사하여 $$P\to Q\to R\to P\to Q\to R\to$$ 와 같이 진행할 때 삼각형 $PQR$의 둘레의 길이는 $P$의 위치에 관계없이 일정함을 보이고 그 값을 구하여라.

(1996년 4월 14일)