$\frac{7x^{25}-10}{83}$이 정수가 되는 최소의 양의 정수 $x$를 구하여라.
태그 보관물: 합동식
1997 제16회 전국 대학생 수학경시대회 오후 2번문제
임의의 자연수 $n$은 다음 여섯 개의 합동식 중 적어도 한 개를 만족함을 보여라.
\[n \equiv 0\pmod{2}, n\equiv 0 \pmod{3},n\equiv 1\pmod{4}, \]\[n \equiv 3 \pmod{8}, n\equiv 7 \pmod{12}, n\equiv 23 \pmod{24}.\]
(1997년 10월 12일, 출처)
2000 제13회 한국수학올림피아드 최종시험 1번문제
임의로 주어진 소수 $p$에 대하여, 두 조건 $x^2+y^2+z^2-wp=0$, $0\lt w\lt p$를 동시에 만족시키는 정수 $x$, $y$, $z$, $w$가 존재함을 보여라.
(2000년 4월 15일, 출처4시간 30분)