음아닌 실수 $p_1,p_2,\ldots,p_n$과 $q_1,q_2,\ldots,q_n$이 \[p_1+\cdots+p_n=q_1+\cdots+q_n\]을 만족한다 하자. $i$번째 행의 합이 $p_i$이고 $j$번째 열의 합의 $q_i$이며 각 칸이 음 아닌 실수인 행렬의 주 대각선 칸들의 합이 가질 수 있는 값의 최대값을 구하여라.
(2013년, 출처)
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2012 제31회 전국 대학생 수학경시대회 제2분야 5번문제
다음 조건을 만족하는 모든 $n\times n$ 행렬 $A$에 대하여 $\operatorname{tr}(A)$가 될 수 있는 값을 모두 구하여라. (단, $I$는 단위행렬이다.)
(1) $A^2=I$,
(2) $\operatorname{rank}(A+I)=1$.
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)
2012 제31회 전국 대학생 수학경시대회 제1분야 4번문제
주어진 정수 $n\ge 2$에 대하여 다음 조건을 만족하는 $n\times n$ 행렬 $A$의 $\operatorname{tr}(A)$가 될 수 있는 값을 모두 구하여라. (단, $I$는 단위행렬이다.)
(1) $\operatorname{rank}(A+I)=1$,
(2) $\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(A^3)$.
(2012년 11월 17일 (10:00-13:00) 8문제)