$225$개의 원소를 가진 집합 $A$와 그 부분집합 $A_1, A_2, \ldots, A_{11}$이 주어져있다. 이때 모든 $1\le i \le 11$에 대해 $|A_i|=45$이고 모든 $1\le i<j\le 11$에 대해 $|A_i\cap A_j|=9$라면, $|A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_{11}|\ge 165$임을 증명하고 등호가 성립하는 경우를 찾아라.