$3$보다 큰 소수 $p$가 다음 조건을 만족한다.

$2^x-1$이 $p$의 배수가 되는 양의 정수 $x$ 중 가장 작은 것이 $p-1$이다.

$p=2k+3$이라 할 때, 수열 $\{a_n\}$을 식 \[a_i=a_{k+i}=2^i \quad (1\le i\le k), \qquad a_{j+2k}=a_i a_{j+k} \quad (j\ge 1)\]에 따라 귀납적으로 정의하자. 수열 $\{a_n\}$에는 $p$로 나눈 나머지가 모두 다른 $2k$개의 연속한 항이 존재함을 보여라.

(2012년 8월 19일 오후, 2시간 30분) (중등부 6번문제와 동일)