좌표 평면 위에 두 이차식 $f_1(x) = p_1x^2 + q_1x + r_1$, $f_2(x) =p_2x^2 + q_2x + r_2$의 그래프 $\mathcal G_1$, $\mathcal G_2$가 있다. 단, $p_1>0>p_2$이다. 두 그래프 $\mathcal G_1$, $\mathcal G_2$가 서로 다른 두 점 $A$, $B$에서 만나고, $A$, $B$에서 $\mathcal G_1$, $\mathcal G_2$에 접하는 접선 $4$개로 이루어진 볼록사각형에 내접하는 원이 존재한다. 이때, 두 그래프 $\mathcal G_1$과 $\mathcal G_2$의 대칭축이 서로 같음을 보여라.
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2014 아시아태평양수학올림피아드 5번문제
두 원 $\omega$와 $\Omega$가 두 점 $A$, $B$에서 만난다. 원 $\Omega$내의 점 $M$은 원 $\omega$의 호 $AB$의 중점이다. 원 $\omega$의 현 $MP$가 $\Omega$와 점 $Q$에서 만난다고 하자. 단 $Q$는 $\omega$ 안에 있다. 점 $P$를 지나는 원 $\omega$의 접선을 $\ell_P$라 하고, 점 $Q$를 지나는 원 $\Omega$의 접선을 $\ell_Q$라 하자. 이때 세 직선 $\ell_P$, $\ell_Q$, $AB$로 만들어진 삼각형의 외접원이 $\Omega$에 접한다는 것을 증명하라.
2013 이란 TST 6번문제
직선 $\ell$ 위에 4개의 점 $A$, $B$, $C$, $D$가 순서대로 있다. 직선 $\ell$ 기준으로 같은 방향에 점 $A$에서 $B$로 가는 두 원호 $C_1$, $C_2$가 있고, 점 $C$에서 점 $D$로 가는 두 원호 $C_3$, $C_4$가 있어서 $C_1$과 $C_3$이 수직으로 만나고 $C_2$와 $C_3$가 수직으로 만난다고 한다. 이때 $C_2$와 $C_3$에 동시에 외접하는 직선과 $C_1$, $C_4$에 동시에 외접하는 직선은 직선 $\ell$에서 만나는 것을 증명하라.
(2013년, 출처)
2013 루마니아 수학 마스터 3번문제
원 $\omega$에 내접한 사각형 $ABCD$가 있다. 직선 $AB$와 $CD$가 점 $P$에서 만나고 직선 $AD$와 $BC$가 점 $Q$에서 만나며 대각선 $AC$와 $BD$가 점 $R$에서 만난다. 선분 $PQ$의 중점을 $M$이라 하고 선분 $MR$과 원 $\omega$가 만나는 점을 $K$라 하자. 삼각형 $KPQ$의 외접원과 원 $\omega$가 한 점에서 접한다는 것을 증명하라.
(2013년 3월 1일, 4시간 30분동안 3문제, 출처)
2012 이란 TST 시험2 둘째날 2번문제
중심이 $O$인 원$\omega$ 위에 $\frac\pi3<\angle AOB<\frac{2\pi}{3}$이 되게 두 점 $A$, $B$를 잡자. 삼각형 $AOB$의 외심을 $C$라 하자. 점 $C$를 지나는 직선 중에 $OC$ 사이에 각이 $\frac\pi3$이 되게 직선 $\ell$을 잡자. 직선 $\ell$이 원 $\omega$의 점$A$, 점$B$의 접선들과 각각 $M$, $N$에서 만난다고 하자. 삼각형 $CAM$과 $CBN$의 외접원이 원 $\omega$와 다시 만나는 아닌 점을 각각 $Q$, $R$이라 하자. 삼각형 $CAM$과 $CBN$의 외접원이 서로 만나는 $C$ 아닌 점을 $P$라 하자. 이때 직선 $OP$와 직선 $QR$이 서로 수직으로 만난다는 것을 보여라.