삼각형 $ABC$의 변 $BC$, $CA$, $AB$의 중점을 각각 $L$, $M$, $N$이라 하고, 삼각형 $ABC$ 내부에 \[ PL:PM:PN=BC:CA:AB\]가 되는 점 $P$가 있다. 직선 $AP$, $BP$, $CP$가 삼각형 $ABC$의 외접원과 만나는 $A$, $B$, $C$가 아닌 점을 각각 $D$, $E$, $F$라 하자. 이때 삼각형 $APF$, $APE$, $BPF$, $BPD$, $CPD$, $CPE$ 각각의 외심을 모두 지나는 원이 존재함을 증명하라.
(2013년 3월 14일, 출처, 4시간 30분)