$k\ge 0$에 대해 수열 $\{n_k\}$가 $n_0=n_1=1$이고 모든 $k\ge 1$에 대해 $n_{2k}=n_k+n_{k-1}$, $n_{2k+1}=n_k$를 만족한다고 하자. 모든 $k\ge 1$에 대해 $q_k=\frac{n_k}{n_{k-1}}$이라 하자. 이때 임의의 양수인 유리수는 수열 $\{q_k\}$에 정확히 한 번씩 나타난다는 것을 증명하라.
(2013년 4월 8일, 4시간, 4문제, 출처)